(Cefet MG 2014) Reta e Circunferencia

por Jhoncar Ter 14 Jan 2014, 10:39

No plano cartesiano,duas retas r e s se interceptam num ponto S(x,0) e tangenciam a circunferência x^2 + y^2 = 10 nos
pontos P(3,p) e Q(3,q), respectivamente. Os pontos P,Q,S e O, sendo O o centro da circunferência,determinam um quadri-
látero cuja área em unidades de área, é

a) 5/3
b) 10/3
c) √10/3
d) 5√10/9
e) 20√10/9

Resposta: b

por PedroCunha Ter 14 Jan 2014, 21:52

Alguém?

por **Medeiros** Qua 15 Jan 2014, 01:07

(Cefet MG 2014) Reta e Circunferencia Ped0

por simetria:
|p| = |q|

a área desejada pode ser dada por: -----> S_OPSQ = 2.(S₁ + S₂)
sendo
S₁ = 3p/2
S₂ = (x-3)p/2

Pitágoras em S₁:
(√10)² = 3² + p² -----> p=1 -----> P(3, 1) e Q(3, -1)

tg(u) = p/3 = 1/3
r é perpendicular ao segmento OP (raio), então:
tg(v) = -1/tg(u) -----> tg(v) = -3

reta r (considerando os pontos S e P):
-3 = (0 - p)/(x - 3) -----> -3x + 9 = -p -----> 3x = 1 + 9 -----> x = 10/3 -----> S(10/3, 0)

portanto

$\\ S_{OPSQ}=2\times\left[\frac{3\times1}{2}+\frac{\left(\frac{10}{3}-3 \right ).1}{2} \right ]\;=\; 2\cdot\left[\frac{3}{2}+\frac{1}{6} \right ]\;=\;2\cdot\left(\frac{10}{6} \right ) \\\\\\ \boxed{\;\;S_{OPSQ}=\frac{10}{3}\;\;}$

_____________________________

Adendo:
ocorreu-me agora que uma vez encontrado o valor de x do ponto S(x, 0), bastava calcular uma área de um triângulo:

S = 2.(x.p/2) = x.p = (10/3).1 = 10/3.

(mas o "burro" gosta de complicar!!!! e trabalhar dobrado...)