(Cefet MG 2014) Inequação

por Jhoncar Ter 14 Jan 2014, 11:30

A solução da inequação 0<(2sen^2(x) + sen(2x))/(1 + tg(x))<1 para todo x ∈ [0,∏/2[ é o conjunto:

a) [0,∏/4[
b) ]0,∏/4[
c) [0,∏/2[
d) ]0,∏/2[
e) [∏/4,∏/2[

Resposta: b

por PedroCunha Ter 14 Jan 2014, 11:52

Veja:

0 < [2sen²x + 2 * senx * cosx]/(1 + senx/cosx) < 1
0 < [2senx * (senx + cosx)]/[ (cosx + senx)/cosx) ] < 1
0 < [2senx * cosx * (senx + cosx)]/ (cosx + senx) < 1
0 < 2 * senx * cosx < 1
0 < sen(2x) < 1

sen (2x) = 0
x = 0

sen (2x) = 1
sen (2x) = sen pi/2
x = pi/4

Logo:

0 < x < pi/4 .:. ]0, pi/4[

É isso.

Att.,
Pedro

por Lucas_DN684 Sex 20 Out 2023, 01:29

Código:: 0< \frac{2\sin^{2} x+\sin2x}{1+\tan x}< 1 \,\, \wedge \, \, x\in [0,\frac{\pi }{2}[ \, \, \Leftrightarrow \\\\\Leftrightarrow 0< \frac{2\sin x \left ( \cos x+\sin x \right )}{\frac{\cos x+\sin x}{\cos x}}< 1 \,\, \wedge \, \, x\in [0,\frac{\pi }{2}[ \, \, \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow 0<\sin2x< 1 \,\, \wedge \, \, x\in [0,\frac{\pi }{2}[ \, \, \Leftrightarrow \, \, \sin2x>0\, \wedge \, \sin2x<1\, \wedge \, x\in [0,\frac{\pi }{2}[\, \, \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow 0 <2x<\pi \, \, \wedge \, \, \left ( 0\leq 2x< \frac{\pi }{2} \, \, \, \vee \, \, \, \frac{\pi }{2} < 2x <\pi \right ) \,\, \wedge \, \, x\in [0,\frac{\pi }{2}[ \, \, \Leftrightarrow \\\\\Leftrightarrow 0<x<\frac{\pi }{2} \, \, \wedge \, \, \left ( 0\leq x< \frac{\pi }{4} \, \, \, \vee \, \, \, \frac{\pi }{4} < x <\frac{\pi }{2} \right ) \,\, \wedge \, \, x\in [0,\frac{\pi }{2}[ \, \, \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow x\in ]0,\frac{\pi }{4}[\, \, \cup \, \, ]\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}[

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