Triângulos

São dados os triângulos AJL, BJL e CJL, tais que AJ/AL = BJ/BL = CJ/CL = 3/2 . Considere o circuncentro "O" do triângulo ABC e calcule o valor da razão OJ/OL .

São dados os triângulos AJL, BJL e CJL, tais que AJ/AL = BJ/BL = CJ/CL = 3/2 . Considere o circuncentro "O" do triângulo ABC e calcule o valor da razão OJ/OL .

OBS.: em relação ao segmento JL dado, não consegui achar três pontos (A, B e C) para formar triângulos tais que fosse obedecida a relação acima. Se acatava a razão, o terceiro ponto não resultava em triângulo. Optei pelo terceiro ponto a formar triângulo com JL porém com a razão invertida, a saber:

AJ/AL = BJ/BL = CL/CJ = 3/2


construção

Dado o segmento JL, sejam P e Q dois pontos que o dividem tais que: PL/PJ = QJ/QL = 3/2.
Por P e Q traçamos as perpendiculares r e s que encontram a circunferência de diâmetro JL. Há quatro interseções; em três delas teremos os pontos A, B e C.



por construção temos: QJ/QL = 3/2.

os triângulos AJL, BJL e CJL são retângulos porque inscritos num semicírculo.

∆AJL: -----> AJ/QJ = AL/QL -----> AJ/AL = QJ/QL = 3/2 .......... construção OK.
analogamente para ∆BJL e ∆CJL.

É evidente que o ∆ABC é retângulo em A. Assim, seu circuncentro estará no ponto médio da hipotenusa BC que, por simetria, é também o centro da circunferência de diâmeto JL.

Portanto, OJ/OL = 1

Agora mostro o problema como erradamente eu tinha "visto".


São dados os triângulos pontos A, B e C, tais que AJ/AL = BJ/BL = CJ/CL = 3/2 . Considere o circuncentro "O" do triângulo ABC e calcule o valor da razão OJ/OL .

Aqui acatei a imposição JA/AL=BJ/BL=CJ/CL=3/2 porém a solução desse é pouco mais difícil. Vamos a ela.



∆BJL é retângulo em B (inscrito no semicírculo). Então,
BJ/AJ = BL/AL -----> BJ/BL = AJ/AL = 3/2 ....................(construção OK)

Como não temos uma medida absoluta, apenas medidas relativas, vou deixar tudo em função da medida de AL.

AB² = AJ.AL -----> AB² = (3/2).AL.AL ----->  AB² = (3/2).AL²
___________

AJ/AL = 3/2 -----> (AJ+AL)/AL = (3+2)/2 -----> JL/AL = 5/2 -----> JL = (5/2).AL

CJ/CL = 3/2 -----> (CJ-CL)/CL = (3-2)/2 -----> JL/CL = 1/2 -----> CL = 2.JL -----> CL = 5.AL

AC = CL + AL -----> AC = 5.AL + AL -----> AC = 6.AL

O'L = O'A - AL -----> O'L = 3.AL - AL -----> O'L = 2.AL

OL² = O'O² + O'L² -----> OL² = (AB/2)² + (2.AL)² -----> OL² = (3/8).AL² + 4.AL² -----> OL² = (35/8).AL²
____________

O'J = O'L + JL -----> O'J = 2.AL + (5/2).AL -----> O'J = (9/2).AL

OJ² = (O"A)² + (O'J)² -----> OJ² = (AB/2)² + (9.AL/2)² -----> OJ² = (3/8).AL² + (81/4).AL²


OJ² = (165/8).AL²
_____________

(OJ/OL)² = [(165/8).AL²]/[(35/8).AL²] -----> (OJ/OL)² = 165/35

portanto,......... OJ/OL = √(33/7) = (√231)/7 ≈ 2,2

____________________________


E o problema pode ficar ainda pior. Basta impor que "os pontos A, B ou C não podem pertencer ao segmento JL".

o gabarito é 9/4, ou seja, 2.222...

Obrigado senhor, mt interessante!

o gabarito é 9/4, ou seja, 2.222...

antes: 9/4 = 2,25 (exatamente)

pois é, Papiro. Na primeira vez eu tinha feito uma resolução (vide item "1" do primeiro post) que dava 9/4 mas estava errada, por isso a apaguei.

Note que na minha segunda resolução (leitura errada do enunciado) o erro percentual para os 9/4 é -3,5% (ou 0,035). Porém, nesta, NÃO existem os triângulos AJL e CJL, citados no enunciado.

Se o gabarito é 9/4, eu gostaria de ver a construção da figura de tal forma que os triângulos AJL, BJL e CJL mantenham a razão AJ/AL=BJ/BL=CJ/CL=3/2.
Conheces alguma resolução, para postar?

Infelizmente não conheço outra solução Medeiros, talvez o gabarito do meu livro esteja errado.

Papiro Insano

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Perdão senhor, eu havia me esquecido.