Triângulos

Relembrando a primeira mensagem :

São dados os triângulos AJL, BJL e CJL, tais que AJ/AL = BJ/BL = CJ/CL = 3/2 . Considere o circuncentro "O" do triângulo ABC e calcule o valor da razão OJ/OL .

Bom dia, Papiro.
Eu não diria que o gabarito do seu livro está errado... mas apenas que ainda não encontramos alguém que consiga montar o problema proposto. E nem deve ser tão difícil pois está no ensino fundamental !

Sei que fazer o desenho faz parte da resolução mas o fato é que não consigo visualizar a construção da figura exigida, veja a dificuldade:
a) devemos ter três triângulos com um lado em comum (o segmento JL) e, ainda, devem obedecer àquela razão entre dois dos seus outros lados;
b) seus três vértices ABC devem formar um quarto triângulo de onde se extrairá o circuncentro O.
Portanto, além de acatar a razão dada, devemos ter A, B e C não alinhados com JL e não alinhados entre si.

Eu não consegui atender ao item a, por isso gostaria de ver a construção dessa figura.

Abs.
__________________________

ADENDO
em outras palavras:
construir 2 triângulos, ∆AJL e ∆BJL, tais que AJ/AL=BJ/BL=3/2 é fácil. O que eu não estou conseguindo é construir um terceiro triângulo ∆CJL tal que CJ/CL=3/2.
Vamos aguardar que alguém do fórum possa ajudar.

ALERTA
Papiro e demais participantes,

Como disse Machado de Assis na figura de um de seus personagens (não lembro qual), "um macaquinho empoleirou-se no trapézio que tenho dentro do cérebro, pôs-se a balançar e não me deu mais sossego". Algo estava errado e finalmente percebi o que era:

Sinto informar que cometi um erro crasso em todas as resoluções acima: absurdamente baseei-me em relações que não existem no triângulo retângulo (erro infantil, inacreditável e desabonador, eu sei).

Se pudesse, apagaria tudo: para evitar informação errada; e para evitar desperdício de tempo de quem acompanhe as resoluções.

Sinto muito e deixo meu pedido de desculpas a todos.

Realmente Medeiros, também não sei como deve ser a construção do triângulo ABC. E em relação ao erro do senhor, também não havia percebido isso, boa observação! Bom, de qualquer forma, obrigado pela intenção de querer ajudar. Espero que alguém possa nos ajudar a resolver essa questão.

Até que enfim... me livrei da trava bitolada que impedia de abordar corretamente este problema. Vamos à solução.

São dados os triângulos AJL, BJL e CJL, tais que AJ/AL = BJ/BL = CJ/CL = 3/2 . Considere o circuncentro "O" do triângulo ABC e calcule o valor da razão OJ/OL .

Esta questão equivale a seguinte pergunta: qual o lugar geométrico dos pontos P tais que PJ/PL=3/2 ?

Colocamos o segmento JL sobre a reta suporte r e o dividimos em 5 partes iguais; chamamos de "k" a cada uma dessas partes, a qual passará a ser nossa unidade.

Para garantir a razão PJ/PL=2/3, com centro em J, traçamos circunferências de raio 3nk; e com centro em L, de raio 2nk -- com n∈ℕ. Os procurados pontos P estarão na interseção dessas circunferências. Vide figura.




p/ n=1, temos o ponto P₁ que, obviamente, divide o segmento JL na razão 3/2.
p/ n > 1, temos os pontos P₂, P₃, P₄ e seus simétricos P' em relação a reta r.
p/ n=5, temos o ponto Q, que divide harmonicamente o segmento JL na razão 3/2.
 
Para que haja a interseção, devemos ter:
3nk ≤ 2nk + JL -----> 3nk ≤ 2nk + 5k -----> 3n ≤ 2n + 5 -----> n ≤ 5.
Por isso, Q é o último ponto possível.
 
Pela sequência dos pontos encontrados e pela construção do desenho, percebemos que o lugar geométrico dos pontos P, procurados, é uma circunferência de centro em O. Como seu diâmetro é PQ, o centro estará em PQ/2.
PQ = JQ - JP -----> PQ = 15k - 3k -----> PQ = 12k -----> PQ/2 = 6k -----> PO = 6k

Medimos 6k a partir de P e marcamos o ponto O. Com centro em O e raio 6k traçamos a circunferência.
 
Agora ficou fácil. Dos infinitos pontos da circunferência, podemos tomar quaisquer três para formar os triângulos AJL, BJL e CJL -- exceto os pontos P e Q, que não formam triângulo por estarem alinhados a JL --, tais que vale a razão AJ/AL=BJ/BL=CJ/CL=3/2.
Só para ilustrar, escolhemos quaisquer três pontos para formar o triângulo ABC.




Quer-se saber a razão OJ/OL onde O é o circuncentro do ∆ABC. Ora, este triângulo já está inscrito na circunferência de centro conhecido, e a mediatriz de qualquer dos seus lados passará por O. Portanto:

OJ = OP + JP -----> OJ = 6k + 3k -----> OJ = 9k
OL = OP - PL -----> OL = 6k - 2k ------> OL = 4k


OJ/OL = 9k/4k -----> OJ/OL = 9/4


Em resumo, e de forma mais simples, acho que se pode dizer que o ponto O procurado é a média da divisão harmônica de JL na razão pedida.

UFA !!!!


Papiro, seu gabarito está correto. Abs.

Muito bom Medeiros, brilhante mesmo... muito obrigado hein, Deus abençoe!