encontrar Lugar geometrrico

por lucasdemirand Qui 09 Jan 2014, 11:10

Olá amigos, estou com muita dificuldade no seguinte exercicio de ALGA.
Encontrar a equação do lugar geométrico que encontra-se a 6 unidade da origem e 2 unidades do eixo y. Após encontrar, como construir ?
Caso alguem possa me ajudar...
e apenas outra duvida, voces conhecem um programa para fazer a construçao desses exercicios, gostaria de saber se estou fazendo eles corretamente.

por megatron0000 Qui 09 Jan 2014, 12:13

Bom, está aí uma figura que ajuda: encontrar Lugar geometrrico <a href=

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A circunferência azul é formada pelos pontos que distam 6 unidades da origem. Sua equação, portanto, é:

${x^2} + {y^2} = 36$

As 2 retas pretas são formadas por pontos que distam 2 unidades do eixo Y. Suas equações são:

$x = - 2$

e

$x = 2$

Para achar o lugar geométrico dos pontos que atendem ambas as exigências, basta armar um sistema:

${x^2} + {y^2} = 36{\rm{\ \ \ \ e\ \ \ \ }}x = 2$

ou

${x^2} + {y^2} = 36{\rm{\ \ \ \ e\ \ \ \ }}x = - 2$

Resolvendo o sistema de cima, temos:

${x^2} + {y^2} = 36{\rm{\ \ \ \ e\ \ \ \ }}x = 2$

${\left( 2 \right)^2} + {y^2} = 36$

${y^2} = 32$

$y = \pm 4\sqrt 2\ {\rm{}}{\rm{,\ }}x = 2$

Resolvendo o de baixo:

${x^2} + {y^2} = 36{\rm{\ \ \ \ e\ \ \ \ }}x = - 2$

${\left( { - 2} \right)^2} + {y^2} = 36$

${y^2} = 32$

$y = \pm 4\sqrt 2\ {\rm{ }}{\rm{,\ }}x = - 2$

Finalmente, os pontos que atendem os requisitos são $\left( {2,4\sqrt 2 } \right),\left( {2, - 4\sqrt 2 } \right),\left( { - 2,4\sqrt 2 } \right),\left( { - 2, - 4\sqrt 2 } \right)$

Esse tipo de exercício pode ser entendido algebricamente e "visualmente" (geometricamente).

Os 2 requisitos iniciais (distância de 6 unidades da origem e 2 unidades do eixo Y) são passíveis de análise puramente algébrica, ou seja, não é difícil transformar os 2 em equações (foi o que eu fiz, com as equações das retas pretas e da circunferência azul). Depois desse primeiro passo, sem nem mesmo visualizar o que está acontecendo no plano (através da figura), conseguimos achar satisfatoriamente os pontos que obedeceriam às 2 exigências ao mesmo tempo (sistema).

A imagem serve para que consigamos "enxergar" o que toda a manipulação algébrica significa. Nesse ponto, fica fácil ver as soluções, pois ,na figura, as retas e a circunferência se interceptam em 4 pontos, conforme encontramos.

Ah ,é ! Um programa que permite construir esses gráficos é o "Geogebra" (aliás, foi o que eu usei)...

por lucasdemirand Sex 10 Jan 2014, 19:25

bah, brigadão cara. Ajudou demais, e tinha umas duvidas também enquanto aos desenhos, pois minha professora pede a construção deles e nos exercícios eu não tenho uma boa base pra saber se estou fazendo o desenho corretamente. Valeu pela ajuda mesmo.