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por Chronoss Seg 30 Dez 2013, 19:38
Relembrando a primeira mensagem :
Para o Triângulo ABC de vértices : A( -3 ; 1 ) , B ( 3 ; (11/2) ) e C ( 13 ; (-5/2) ) ; calcule:
a) O raio da circunferência inscrita no triângulo
b) A área do triângulo BCD
- Gabarito:
- a) ( 5/2 )
b) ( 25/2 )
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Re: Calcule
por Medeiros Qua 01 Jan 2014, 14:43
Amigo Euclides,
grato pela sua preocupação e orientação para configurar o teclado.
Na verdade, o "meu" teclado não tem problema algum. Acontece que naquela ocasião eu estava usando uma das máquinas da sala de convivência na empresa -- pois é, estava trabalhando àquela hora e aproveitei um curtíssimo tempo de lazer. A empresa funciona em intranet e tem um pessoal específico para configurar e manter as máquinas e recentemente eles "mexeram" naquela. Mesmo que eu quisesse configurar corretamente, não teria o status de administrador para alterar configuração na máquina.
Um bom ano.
grato pela sua preocupação e orientação para configurar o teclado.
Na verdade, o "meu" teclado não tem problema algum. Acontece que naquela ocasião eu estava usando uma das máquinas da sala de convivência na empresa -- pois é, estava trabalhando àquela hora e aproveitei um curtíssimo tempo de lazer. A empresa funciona em intranet e tem um pessoal específico para configurar e manter as máquinas e recentemente eles "mexeram" naquela. Mesmo que eu quisesse configurar corretamente, não teria o status de administrador para alterar configuração na máquina.
Um bom ano.
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Re: Calcule
por Medeiros Qua 01 Jan 2014, 16:03
Chronoss,
A ideia que lhe dei, usando a fórmula de Hierão, foi uma "ideia de jerico". Realmente fica muito complicado, com muitos radicais de nºs primos. Fiz as contas e cheguei exatamente onde você chegou -- logo nossas contas estão certas -- e não vejo como racionalizar o denominador do raio interno.
Calcular a área do triângulo ABC por geometria analítica, como instruiu o Maico33LP, é muito mais fácil, portanto, recomendável; embora, só de birra, eu tenha calculado conforme dica que dei (mostro abaixo).
Como o seu enunciado não citava um ponto D, achei que a pergunta "b" referia-se a área de ABC. Pelo seu posterior comentário, percebi que o ponto D é o centro da circunf. inscrita, conforme intuiu o Euclides. De qualquer forma, percebo que ambos chegamos no valor aprox. de "16" para a área de BCD, contra os "12,5" do gabarito.
A seguir, como fui eu quem deu a ideia de jerico, segue, por obrigação, o cálculo que a emprega.
=\sqrt{6^2+\left(\frac{9}{2}&space;\right&space;)^2}=\sqrt{36+\frac{81}{4}}=\sqrt{\frac{225}{4}}&space;\;\;\;\;\;&space;\rightarrow&space;\;\;&space;{\color{Blue}&space;r=\frac{15}{2}}\\\\&space;s=dist(A,C)=\sqrt{16^2+\left(\frac{-7}{2}&space;\right&space;)^2}=\sqrt{256+\frac{49}{4}}=\sqrt{\frac{1073}{4}}&space;\;\;\;&space;\rightarrow&space;\;\;&space;{\color{Blue}&space;s=\frac{\sqrt{1073}}{4}}\\\\&space;t=dist(B,C)=\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{164}&space;\;\;\;\;\;&space;\rightarrow&space;\;\;&space;{\color{Blue}&space;t=2&space;\sqrt{41}}&space;\\\\&space;p=\frac{r+s+t}{2}&space;\;\;\;\;\;&space;\longrightarrow&space;\;\;\;\;\;&space;{\color{Blue}&space;p=\frac{15+\sqrt{10173}+4\sqrt{41}}{4}} "\\ r=dist(A,B)=\sqrt{6^2+\left(\frac{9}{2} \right )^2}=\sqrt{36+\frac{81}{4}}=\sqrt{\frac{225}{4}} \;\;\;\;\; \rightarrow \;\; {\color{Blue} r=\frac{15}{2}}\\\\ s=dist(A,C)=\sqrt{16^2+\left(\frac{-7}{2} \right )^2}=\sqrt{256+\frac{49}{4}}=\sqrt{\frac{1073}{4}} \;\;\; \rightarrow \;\; {\color{Blue} s=\frac{\sqrt{1073}}{4}}\\\\ t=dist(B,C)=\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{164} \;\;\;\;\; \rightarrow \;\; {\color{Blue} t=2 \sqrt{41}} \\\\ p=\frac{r+s+t}{2} \;\;\;\;\; \longrightarrow \;\;\;\;\; {\color{Blue} p=\frac{15+\sqrt{10173}+4\sqrt{41}}{4}}")
Queremos obter
(p-s)(p-t)} "\\ S=\sqrt{p(p-r)(p-s)(p-t)}")
Como é uma conta longa, vamos fazer por partes:
=\frac{-15+\sqrt{1073}+4\sqrt{41}}{4}&space;\\\\&space;(p-s)=\frac{15-\sqrt{1073+4\sqrt{41}}}{4}&space;\\\\&space;(p-t)=\frac{15+\sqrt{1073}-4\sqrt{41}}{4}&space;\\\\\\&space;p.(p-r)=\frac{1}{16}\left(-225+15\sqrt{1073}+60\sqrt{41}-15\sqrt{1073}+1073+4\sqrt{41}\sqrt{1073}-60\sqrt{41}+4\sqrt{41}\sqrt{1073}+656&space;\right&space;)&space;\\\\&space;p.(p-r)=\frac{1}{16}\left(1504+8\sqrt{41}\sqrt{1073}&space;\right&space;)&space;\\\\&space;\mathbf{p.(p-r)=\frac{1}{2}\left(188+8\sqrt{41}+\sqrt{1073}&space;\right&space;)}&space;\\\\\\&space;(p-s)(p-t)=\frac{1}{16}\left(225+15\sqrt{1073}-60\sqrt{41}-15\sqrt{1073}-1073+4\sqrt{41}\sqrt{10783}+60\sqrt{41}+4\sqrt{41}\sqrt{1073}-656&space;\right&space;)&space;\\\\&space;(p-s)(p-t)=\frac{1}{16}\left(-1504+8\sqrt{41}\sqrt{1073}&space;\right&space;)&space;\\\\&space;\mathbf{(p-s)(p-t)=\frac{1}{2}\left(-188+\sqrt{41}\sqrt{1073}&space;\right&space;)} "\\ (p-r)=\frac{-15+\sqrt{1073}+4\sqrt{41}}{4} \\\\ (p-s)=\frac{15-\sqrt{1073+4\sqrt{41}}}{4} \\\\ (p-t)=\frac{15+\sqrt{1073}-4\sqrt{41}}{4} \\\\\\ p.(p-r)=\frac{1}{16}\left(-225+15\sqrt{1073}+60\sqrt{41}-15\sqrt{1073}+1073+4\sqrt{41}\sqrt{1073}-60\sqrt{41}+4\sqrt{41}\sqrt{1073}+656 \right ) \\\\ p.(p-r)=\frac{1}{16}\left(1504+8\sqrt{41}\sqrt{1073} \right ) \\\\ \mathbf{p.(p-r)=\frac{1}{2}\left(188+8\sqrt{41}+\sqrt{1073} \right )} \\\\\\ (p-s)(p-t)=\frac{1}{16}\left(225+15\sqrt{1073}-60\sqrt{41}-15\sqrt{1073}-1073+4\sqrt{41}\sqrt{10783}+60\sqrt{41}+4\sqrt{41}\sqrt{1073}-656 \right ) \\\\ (p-s)(p-t)=\frac{1}{16}\left(-1504+8\sqrt{41}\sqrt{1073} \right ) \\\\ \mathbf{(p-s)(p-t)=\frac{1}{2}\left(-188+\sqrt{41}\sqrt{1073} \right )}")
Assim, p(p-r)(p-s)(p-t) mostra ser um caso notável do produto da soma pela diferença:
(p-s)(p-t)\;=\;\frac{1}{4}\left[\left(\sqrt{41}\sqrt{1073}&space;\right&space;)^2-\left(188&space;\right&space;)^2&space;\right&space;]\;=\;\frac{1}{4}\left[43\,993-35\,344&space;\right&space;]&space;\\\\&space;p.(p-r)(p-s)(p-t)&space;\;=\;&space;\frac{1}{4}\cdot&space;8\,649&space;\;=\;&space;\frac{3^2.31^2}{4} "\\ p.(p-r)(p-s)(p-t)\;=\;\frac{1}{4}\left[\left(\sqrt{41}\sqrt{1073} \right )^2-\left(188 \right )^2 \right ]\;=\;\frac{1}{4}\left[43\,993-35\,344 \right ] \\\\ p.(p-r)(p-s)(p-t) \;=\; \frac{1}{4}\cdot 8\,649 \;=\; \frac{3^2.31^2}{4}")
E, finalmente,
(p-s)(p-t)}&space;\;=\;&space;\sqrt{\frac{3^2.31^2}{4}}&space;\;=\;&space;\frac{3\times31}{2}\;\;\rightarrow\;\;&space;{\color{Red}&space;\mathbf{S=\frac{93}{2}}}&space;=&space;46,5 "\\ S=\sqrt{p.(p-r)(p-s)(p-t)} \;=\; \sqrt{\frac{3^2.31^2}{4}} \;=\; \frac{3\times31}{2}\;\;\rightarrow\;\; {\color{Red} \mathbf{S=\frac{93}{2}}} = 46,5")
Abs. e um bom ano.
A ideia que lhe dei, usando a fórmula de Hierão, foi uma "ideia de jerico". Realmente fica muito complicado, com muitos radicais de nºs primos. Fiz as contas e cheguei exatamente onde você chegou -- logo nossas contas estão certas -- e não vejo como racionalizar o denominador do raio interno.
Calcular a área do triângulo ABC por geometria analítica, como instruiu o Maico33LP, é muito mais fácil, portanto, recomendável; embora, só de birra, eu tenha calculado conforme dica que dei (mostro abaixo).
Como o seu enunciado não citava um ponto D, achei que a pergunta "b" referia-se a área de ABC. Pelo seu posterior comentário, percebi que o ponto D é o centro da circunf. inscrita, conforme intuiu o Euclides. De qualquer forma, percebo que ambos chegamos no valor aprox. de "16" para a área de BCD, contra os "12,5" do gabarito.
A seguir, como fui eu quem deu a ideia de jerico, segue, por obrigação, o cálculo que a emprega.
Queremos obter
Como é uma conta longa, vamos fazer por partes:
Assim, p(p-r)(p-s)(p-t) mostra ser um caso notável do produto da soma pela diferença:
E, finalmente,
Abs. e um bom ano.
Medeiros- Grupo
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Re: Calcule
por Chronoss Qua 01 Jan 2014, 16:32
Caro Medeiros , obrigado pela segunda opinião e pela prestatividade , foram de grande valia.
E obrigado também Euclides e maico33LP.
Desejo-lhes um prospero 2014 .
E obrigado também Euclides e maico33LP.
Desejo-lhes um prospero 2014 .
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