Espaço e subespaço vetorial

Como resolver os seguintes exercícios:
1) Seja V o espaço das matrizes 2X2 sobre R, e seja W o subespaço gerado por por
[1 -5; -4 2], [1 1; -1 5]; [2 -4; -5 7]; [1 -7, -5 1]. Encontre uma base, e a dimensão de W.

2) Considere o sistema linear
2x1 + 4x2 -6x3 = a
x1 - x2 + 4x3 = b
0  + 6x2 - 14x3 = c

Seja W = {(x1,x2,x3) pertence a R^3: (x1, x2, x3) é solução do sistema}. Isto é W é o conjunto solução do sistema.
a) Que condições devemos impor a "a", "b", "c" para que W seja subespaço vetorial de R^3.
b) Nas condições determinadas em a) encontre uma base para W.
c) Que relação existe entre a dimensão de W e o grau de liberdade do sistema? Seria este resultado válido para quaisquer sistemas homogêneos?

Seja U subespaço de R^3, gerado por (1, 0, 0) e W subespaço gerado por (1, 1, 0) e (0, 1, 1). Mostre que R^3 é soma direta de U com W (soma de U+V e U interseção com W).

Oi 

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1) Basta verificar quais desses elementos do conjnto gerador são L.I. Note que se A,B,C.D são vetores tais que D é combinação linear de A,B,C, então

Span{A,B,C,D} = span{A,B,C}

2) Deve-se resolver o sistema em função de a,b,c

3) Deve-se mostrar que todo vetor de R^3 pode ser escrito de uma maneira única como a soma de elementos de U e W. Basicamente, como uma união dos geradores (span) de cada um desses conjuntos é uma base de R^3 (verifique!), então R^3 será soma direta)

Claramente, a intersecção de U e W é vazia.

Ok, muito obrigado.

Alguém tem uma solução para a "b" e a "c" da numero dois que o colega acima perguntou??

Na questão 1 como eu faço pra saber que o D é combinação linear de A,B e C?

1) Para a questão '1', tomemos as seguintes medidas, a fim de reduzir a escrita nessa página:
*lembre que v1, v2, v3 e v4 são matrizes do tipo M(2,2)=[x y; z t] (escritas dessa maneira por ser ruim de escrever na usual)
v1=[1 -5; -4 2]
v2=[1 1; -1 5]
v3=[2 -4; -5 7]
v4=[1 -7, -5 1]

fazemos: a*v1+b*v2+c*v3+d*v4=[0 0 ; 0 0]=O (vetor nulo)
Ao resolvermos tal equação, resulta no sistema abaixo:

a+b+2c+d=0
-5a+b-4c-7d=0
-4a-b-5c-5d=0
2a+5b+7c+d=0

Cuja solução resulta em:
a=(-3c+9d)/2
b=(-c-d)/2
Verificamos que 'a,b' são dependentes de uma combinação linear de 'c,d';
Sendo assim, acredito, a base para gerar W é formada pelos vetores v1, v2 ou v3,v4;
dimensão de W é o número de elementos de sua base=2.
Por que isso? Porque b é LD de c e d; a é LD de c e d; c é LD de a e b; d é LD de a e b; por isso, não podemos ter
uma base com (v1,v2,v3), nem com (v1,v2,v4), nem com (v1,v3,v4), nem (v2,v3,v4); resta-nos, apenas,
as opções (v1,v2) e (v3,v4), ambas de dimensão 2;

*também poderíamos dizer que 'c,d' é combinação linear de 'a,b', porém continuaria sendo dimensão 2, apenas a base seria
diferente.

Código:

\begin{pmatrix}
1 & -5 & -4 & 2\\
1 & 1 & -1 & 5\\
2 & -4 & -5 & 7\\
1 & -7 & -5 & 1
 \end{pmatrix}
{\longleftrightarrow}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -3/2 & 9/2\\
0 & 1 & 1/2 & 1/2\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
 \end{pmatrix}

base será={ }


(por Jair Martins - o carroceiro a pé, devagar e sempre) [26/11/2019-02:03)