Sobre espaço vetorial e subespaço.

Considere o espaço vetorial [tex]M_{3X3}[/tex] (matrizes de ordem 3X3), com as operações usuais. Seja D o subconjunto de [tex]M_{3X3}[/tex] formado por todas as matrizes diagonais de ordem 3X3. Mostrar que D é um subespaço vetorial de [tex]M_{3X3}[/tex] e determinar uma base para D.

Ps: Deve-se mostrar que o conjunto escolhido realmente forma uma base para D.

Seja 


Deve-se mostrar:

i) A matriz nula de ordem 3 pertence à D (imediato)
ii) A soma de duas matrizes diagonais é diagonal 
iii) A multiplicação por escalar de uma matriz diagonal é diagonal

ii e iii podem decorrer imediatamente da definição, mas se não for claro pra você, basta pegar duas matrizes diagonais genéricas e somar e pegar uma matriz diagonal genérica e multiplicar por um escalar para observar o que acontece.

Para base, escolho o conjunto 

É claro que estas matrizes são linearmente independentes (aplique a definição e encontrará escalares todos nulos) . Resta mostrar que , que sai imadiatamente da definição de gerador também. Consegue fazer este último?

Se não ficou clara alguma passagem, avise-me

Como você encontrou a Base B? Como fazer isto por meio de cálculo? Tenho outras dúvidas. Você escolheu 3 matrizes para formar a base, foram três matrizes por que você usou uma matriz diagonal 3 por 3? Se fosse uma matriz 4 por 4 a base teria 4 matrizes? Como encontrar a dimensão do espaço? 

Abraços,
Gledson Melotti.

Olá,

Bom,  por definição, uma base é geradora do espaço (além de ser L.I). Daí, queremos encontrar matrizes A,B,C tais que qualquer matriz diagonal D pode ser escrita como combinação linear dessas matrizes.

Veja que:


Qualquer que seja a matriz diagonal.
Como claramente estas matrizes são L.I, então beta é uma base.

A dimensão, como você sabe, é o número de elementos da base. Como achamos uma base de 3 elementos, então todas as outras bases tem 3 elementos e assim a dimensão do espaço é 3. Lembrando que esta base não é única! Existem infinitas destas

Se fosse uma matriz 4x4, por analogia, seriam 4 matrizes. Pense da mesma forma. Mas isso só por que são matrizes diagonais. Obviamente que o subespaço das matrizes diagonais 3x3 não é o único subespaço das matrizes que tem dimensão 3, certo?

Por que, agora, você não tenta achar a dimensão do espaço das matrizes 3x3 triangulares superior?  Faz-se da mesma forma. E das triangulares superior nxn?

Abraços

Ah, se algo ainda não ficou claro, pode perguntar

Oi, muito obrigado pelos esclarecimentos. Tenho mais uma dúvida. Seja V={(1,a,b): a, b pertencem a R}. V é um espaço vetorial? Abraços,
Gledson Melotti.

Olá, sem problemas! 

Convém você criar outro tópico para a sua questão, mas como você é novo, vou respondê-la, da mesma forma. Mas por favor, crie um tópico para questões futuras (e se quiser que eu responda, me mande por MP o tópico que ai fica mais fácil de eu achar sua dúvida).

Dizemos que V é um espaço vetorial se ele satisfaz os axiomas de espaço vetorial, definido com as operações de adição e multiplicação por escalar que você já conhece. 

Note que, ser ou não um espaço vetorial depende de como definimos a adição e a multiplicação por escalar. Neste caso, considerando que estas foram definidas tal como fazemos usualmente, não existe o elemento neutro da adição ( (0,0,0), se formos considerar as operações usuais)

Oi, muito obrigado mesmo. O que significa MP e como faço para criar um novo tópico?
Abraços.

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Como eu crio um novo tópico?
Abraços.