UEPA 2014-Número de engrenagens

por Ludmilla Mayer Ter 26 Nov 2013, 12:43

Os museus são uma das formas de comunicar as
produções científicas entre as gerações. Um
exemplo dessa dinâmica é a comunicação da ideia
de que “nada que é humano é eterno”, sugerida por
um sistema composto por um motor e engrenagens
exposto num museu de São Francisco, nos EUA.
Suponha que esse sistema é composto por um
motor elétrico que está ligado a um eixo que o faz
girar a120 rotações por minuto(rpm), e este,
por meio de um parafuso sem fim, gira uma
engrenagem a uma velocidade 20 vezes menor quea velocidade do próprio eixo sucessivamente.

Um sistema similar ao sistema descrito acima contém n engrenagens, todas ligadas umas às outras por meio de eixos e parafusos sem fim, que fazem cada uma das engrenagens girar 20 vezes mais lentamente do que a engrenagem
anterior. Nestas condições, o número n de engrenagens necessárias para que a velocidade da última engrenagem seja igual a 0,015 rpm é:

RESPOSTA: 3

por Leonardo Lima Ter 26 Nov 2013, 15:10

Seria uma PG de razão 1/20. ax = a1.(q^x-1) com a1= 120 e an= 0,015.
Você encontrará que esse x é igual a 4, como a4 = a1.q³ esse termo ''q³'' indica que são 3 engrenagens. Pois cada engrenagem é um q.

por Ludmilla Mayer Ter 26 Nov 2013, 19:47

Leonardo, poderia me ajudar no cálculo?

ax = a1.(q^x-1)
0,015=120(20^x-1)
0,015/120=20^x-1
Estou no caminho certo?

por Leonardo Lima Ter 26 Nov 2013, 23:31

Está, sim. Só tem um pequeno equivoco, o ''q'' é 1/20 pois a velocidade fica 20 vezes menor. A divisão do 0,015 por 120 vai dar 125.(10^-6)
Dai temos: 125.(10^-6) = (1/20)^x-1 . esse (1/20)^x-1 é o mesmo que (20)^1-x, pois ao inverter a base o expoente é multiplicado por -1.
Então: 125.(10^-6) = (20)^1-x -> esse último termo é o mesmo que (20) / (20)^x.
Então (20)^x = 20 / 125.(10^-6) = 16.(10^4). Agora que temos que 20^x = 16.10^4, teremos que usar uma propriedade de logaritmos, que diz que se b^y = a então (log de a na base b) = y. Assim fica (log de 16.10^4 na base 20) = x. Perceba que 16=2^4 , então temos (log de (2.10)^4 na base 20) = x. Agora, lembra da propriedade de logaritmos em que o expoente do logaritmando (Não sei se o nome é esse, mas no nosso caso é o (2.10) ) pode ir ''para frente'' multiplicando o logaritmo? Então fica 4.(log de 20 na base 20) = x mas quando o logaritmando é igual a base, esse log é igual a 1. Então 4 = x.
Se não entender tento explicar melhor, sem problemas! Espero ter ajudado.

por Ludmilla Mayer Qua 27 Nov 2013, 01:29

Sim, agora está tudo claro. Obrigada. Você me ajudou bastante Smile

por dfavacho Qua 24 Set 2014, 16:10

por que a razão é 1/20? gostaria de saber.

por valeriasjs Sáb 03 Out 2015, 11:01

A razão é 1/20 porque a questão afirma que o parafuso sem fim gira uma engrenagem a uma velocidade 20 vezes MENOR que a velocidade do próprio eixo. Ou seja, temos que colocar a 1/20 para que seja 20 vezes menor.