UFRN - CIRCUNFERÊNCIA

por Bruno N Delgado Qua 13 Nov 2013, 04:09

Umas das retas que passam pelo ponto ( √5 , 0 ) e tangenciam a circunferência de raio unitário e centro na origem da equação:

GAB: 2y = x - √5

por Luck Qua 13 Nov 2013, 16:49

P( √5,0) ; C(0,0) ; R = 1 ; r : ?
r: y - yo = m(x-xo ) ∴ y - 0 = m(x - √5)
d(C,r) = 1 , |ax + by + c| / √(a²+b²) = 1, ache m ..

por PedroCunha Sex 15 Nov 2013, 01:19

Tentei fazer da seguinte maneira:

Com os dados do enunciado, podemos montar o seguinte desenho:

UFRN - CIRCUNFERÊNCIA Joo3

O primeiro passo é encontrar a medida do lado CB, que é uns dos catetos do triângulo retângulo ABC.

Encontrando-o:

(√5)² = 1² + (CB)²
(CB)² = 4
CB = 2

Agora, para encontrar o ponto C podemos fazer o seguinte. Calcular a distância de A até ate C, calcular a distância de C até B e depois resolver o sistema formado. Fazendo isso:

Distância de A até C:

d = √[ (yc - ya)² + (xc - xa)²]
1 = √[ (yc - 0)² + (xc - 0)²]
1² = yc² + xc² (I)

Distância de C até B:

d = √[ (yb -yc)² + (xb - xc)² ]
2 = √[ (0 - yc)² + (√5 - xc)² ]
2² = yc² + 5 - 2√5xc + xc²
4 = (yc² + xc²) + 5 - 2√5xc
4 = 1 + 5 - 2√5xc
2√5xc = 6 - 4
xc = 1/√5
xc = √5/5 (II)

Substituindo II em I:

1 = yc² + (√5/5)²
1 = yc² + 5/25
1 = yc² + 1/5
1 - 1/5 = yc²
4/5 = yc²
+- 2/√5 = yc
yc = +- 2√5/5

Calculando o coeficiente angular da reta utilizando os pontos B(√5,0) e C(√5/5, 2√5/5) ou B(√5,0) e C(√5/5, -2√5/5)

m = ([2√5/5] - 0)/([√5/5] - √5)
m = (2√5/5)/(-4√5/5)
m = 2√5/-4√5
m = -1/2

ou

m = ([-2√5/5] - 0)/([√5/5 - √5]
m = (-2√5/5)/(-4√5/5)
m = 2√5/4√5
m = 1/2

Encontrando as possíveis equações da reta:

y - 0 = (-1/2) * (x - √5)
y = -x/2 + √5/2
2y = -x + √5

ou

y - 0 = (1/2) * (x - √5)
y = x/2 - √5/2
2y = x - √5

¹Corrigida

Grato pela atenção.

Abraços,
Pedro

por Luck Sex 15 Nov 2013, 02:17

Vc optou por um caminho um pouco mais trabalhoso, mas está correto, há duas possíveis retas e o enunciado pediu apenas uma. A outra vc esqueceu de considerar aqui: "4/5 = yc² ∴ yc = ± 2/√5 (...) " , que dará m = 1/2 ∴ 2y = x-√5

resolvendo do outro modo:
mx - y - √5m = 0
|ax + by + c| / √(a²+b²) = 1
|m.0 + (-1).0 -√5m| / √(m²+1) = 1
|-(√5)m| = √(m²+1)
5m² = m² + 1 ∴ m = +-(1/2)
r1: 2y = -x + √5
r2: 2y = x - √5

por PedroCunha Sex 15 Nov 2013, 02:24

Valeu pela ajuda Luck!

Sua maneira é muito mais prática, mas eu tenho dificuldades em Geometria, então prefiro, sempre que possível, fazer uso de desenhos.

Abraços,
Pedro