Equação 2º grau e P.G.

Sendo a e b as raízes da equação x² - 3x + A = 0 e c e d as raízes da equação x² - 12x + B = 0. Se a, b, c e d formam, nessa ordem, uma progressão geométrica crescente, então A + B é:

Gabarito: b) 34

Por favor, me expliquem passo a passo, não sei nem por onde começar!
Obrigada!

Antes de mais nada, das Relações de Girard, para uma equação qualquer do 2° Grau da forma ax² + bx + c =0, temos:

Soma das raízes = -b/a
Produto das raízes = c/a

Com isso em mente, vamos ao exercício.


Da primeira equação, temos:

a + b = -(-3/1)
a + b = 3

Da segunda equação, temos:

c + d = -(-12/1)
c + d = 12

Como o enunciado disse que a,b,c e d formam,nessa ordem, uma P.G. crescente, podemos reescrevê-los da seguinte maneira:

b = a * q
c= a *q²
d= a *q³

Substituindo nas equações, temos:

a+ a*q = 3
aq² + aq³ = 12

Vamos resolver esse sistema:

a + aq = 3 -> a*(1 +q) = 3 (I)
aq² + aq³ = 12 -> aq²*(1 + q) = 12 (II)

Dividindo II por I, temos:

[aq²*(1+q)]/[a*(1+q)] = 12/3
q² = 4
q = 2 (III)

Substituindo III em I:

a*(1+q) = 3
a*(1+2) = 3 
a = 1

Logo, os termos são:

a= 1;
b = 2;
c = 4;
d = 8;

Voltando as equações:

I)  x² - 3x + A = 0

Sabemos pelas Relações de Girard que se a e b são as raízes dessa equação, o produto delas é igual à A . Logo, A = 2


II) x² - 12x + B = 0


Sabemos pelas Relações de Girard que se c e e são as raízes dessa equação, o produto delas é igual à B . Logo, B = 32


Portanto, A + B = 34.


É isso.


Qualquer dúvida não hesite em perguntar.


Att.,
Pedro

Nossa, muito obrigada! Havia lembrado das relações, mas não sabia como aplicá-las.
Ajudou muito, abraço!

Que isso!

Precisando estamos aí!