Métrica
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Métrica
por Matheus314 Seg 19 Ago 2013, 11:32
Olá, fui numa aula avançada do meu colégio, e na folha de exercícios tinha essa questão, e o professor não conseguiu resolver.
ABC é um triângulo retângulo em A, e MNPQ é um quadrado, com M sobre AB, N sobre AC, e P e Q sobre BC. Q está entre B e P. Sabendo-se que BQ= (Raiz de 5) - 1; e PC= (Raiz de 5) +1, calcule a medida do segmento AP.
Agradeço quem tentar ajudar!!
ABC é um triângulo retângulo em A, e MNPQ é um quadrado, com M sobre AB, N sobre AC, e P e Q sobre BC. Q está entre B e P. Sabendo-se que BQ= (Raiz de 5) - 1; e PC= (Raiz de 5) +1, calcule a medida do segmento AP.
Agradeço quem tentar ajudar!!
Matheus314- Iniciante
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Re: Métrica
por Elcioschin Seg 19 Ago 2013, 20:33
Vou começar
Seja MN = NP = PQ = QA = L ----> Lado do quadrado
Seja θ o ângulo A^BC ---> A^MN = θ ----> C^NP = θ
Triângulos MQB e NPC são semelhantes:
MQ/BQ = CP/NP ---> L/(\/5 - 1) = (\/5 + 1)/L ---> L² = (\/5 + 1).(\/5 - 1) ----> L² = 5 -1 ----> L² = 4 ----> L = 2
BC = BQ + QP + PC ----> BC = (\/5 - 1) + 2 + (\/5 + 1) ----> BC = 2.(\/5 + 1)
Agora vem o "pulo do gato":
Note que BC = 2.CP
Isto significa que o ponto P é o ponto médio da hipotenusa BC
O ponto médio da hipotenusa é o centro do círculo circunscrito ao triângulo retângulo ABC
Logo AP é um raio deste círculo, isto é AP = BC/2 ----> AP = \/5 + 1
Seja MN = NP = PQ = QA = L ----> Lado do quadrado
Seja θ o ângulo A^BC ---> A^MN = θ ----> C^NP = θ
Triângulos MQB e NPC são semelhantes:
MQ/BQ = CP/NP ---> L/(\/5 - 1) = (\/5 + 1)/L ---> L² = (\/5 + 1).(\/5 - 1) ----> L² = 5 -1 ----> L² = 4 ----> L = 2
BC = BQ + QP + PC ----> BC = (\/5 - 1) + 2 + (\/5 + 1) ----> BC = 2.(\/5 + 1)
Agora vem o "pulo do gato":
Note que BC = 2.CP
Isto significa que o ponto P é o ponto médio da hipotenusa BC
O ponto médio da hipotenusa é o centro do círculo circunscrito ao triângulo retângulo ABC
Logo AP é um raio deste círculo, isto é AP = BC/2 ----> AP = \/5 + 1
Elcioschin- Grande Mestre
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