(Geometria-métrica)

Seja um triângulo ABC, onde AB=27, AC=26 e BC=25. seja I o ponto de interseção das bissetrizes internas do triangulo ABC. A medida do segmento BI é ?
A)15
B)5+V26+3V3
C)3V26
D)2/3V546
E)9V3

O jeito que vou falar vai dar trabalho, mas vo deixar as contas pra vc ^^
Vc tem os tres lados do triângulo, traçe a bissetriz interna de B vai formar o segmento (BK) , e traçe a bisstriz interna de A formando o segmento AM. Seja I o ponto de interseção, vc quer calcular BI. Ache primeiro BM e MC pelo teorima da bisstriz interna chamando de x e 25-x . Feito isso vc ja pode achar AI e IM do mesmo modo pelo teorema da bissetriz interna. Agora tendo AI e IM calcule o segmento BI usando a relação de stewart.

leonardogomescn escreveu:Seja um triângulo ABC, onde AB=27, AC=26 e BC=25. seja I o ponto de interseção das bissetrizes internas do triangulo ABC. A medida do segmento BI é ?
A)15
B)5+V26+3V3
C)3V26
D)2/3V546
E)9V3

Boa noite, Leonardo.

O ponto de intersecção das bissetrizes é o incentro da circunferência inscrita no triângulo.

Vamos achar a medida do raio da circunferência inscrita, utilizando a seguinte fórmula:

A = s*r
onde:
A = área
s = semiperímetro
r = raio

r = A/s

A área do triângulo ABC é dada pela seguinte fórmula:
A = √s(s-a)(s-b)(s-c)

s = (27+26+25)/2 =78/2 = 39
s-a = 39-27 = 12
s-b = 39-26 = 13
s-c = 39-25 = 14

A = √39*12*13*14 = √85176
r = √85176/39

No ∆ ABC, identifiquemos com as letras P,Q,R as perpendiculares que vão de I até cada lado do triângulo; sobre AC, marquemos P; sobre CB, marquemos Q; sobre AB, marquemos R.
Agora observe que AP=AS ; PC=CQ ; e QB=RB.

Façamos:
AP = AR = x
PC = CQ = 26-x
QB = RB = 27-x

AP + PC = x + 26-x = 26
CQ + QB = 26-x + 27-x = 53-2x = 25 → 2x = 53-25 = 28 → x=14
AR + RB = x + 27-x = 27

Definido que x=14 temos, no triângulo retângulo IRB:
cateto RB = 27-x = 27-14 = 13
cateto IR = raio da circunf. inscrita = √85176/39
(hipotenusa BI)² = 13² + (√85176/39)² = 169 + 85176/1521 = 169 + 56 = 225
BI = √225
BI = 15

Alternativa (A)









Desejo que tenha uma semana muito abençoada!

Brilhante solução Ivo.
Permita-me apenas, para não usar nºs grandes e facilitar as contas na situação de uma prova, sugerir um artifício no cálculo do raio inscrito.



Uma boa semana.

Muito obrigado !

Medeiros escreveu:Brilhante solução Ivo.
Permita-me apenas, para não usar nºs grandes e facilitar as contas na situação de uma prova, sugerir um artifício no cálculo do raio inscrito.

[url=http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\\ A=s.r \;\;\rightarrow\;\; r=\frac{A}{s} \;\;\; e \;\;\; A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \;\;\; então \\\\ r=\frac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s} \\\\ \text{passando o denominador para dentro da raiz,} \\\\ r=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}} \\\\ \text{e isso facilita nas contas devido a simplificação numérica} \\\\ r=\sqrt{\frac{12.13.14}{39}} = \sqrt{\frac{4.1.14}{1}} \;\;\;\rightarrow\;\;\; r=2\sqrt{14}][/url]

Uma boa semana.

Bom dia, Medeiros, excelente redução a sua!
De fato, numa prova é necessário utilizar o caminho mais curto possível, caso contrário o tempo será insuficiente.







Tenha uma boa semana!