Derivada pela definição?

por XxWillXxPEL Dom 04 Ago 2013, 00:08

Eu não estou conseguindo fazer esses dois exercícios aplicando a derivada pela definição, que é como pede para se fazer.

Alguém me explica como se faz quando se tem raiz no denominador? Empaquei...

Calcule as derivadas pela definição.

Derivada pela definição? 1e48sm

Agradeço desde já.

por Convidado Dom 04 Ago 2013, 03:02

$\\f(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}=\frac{\sqrt{2x-1}}{2x-1}=\frac{\sqrt{u}}{u}\\\\\\\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{u}-\sqrt{u-h}}{h}\;\to\;\lim_{h\to0}\frac{h}{h\left ( \sqrt{u}+\sqrt{u-h} \right )}=\frac{1}{2\sqrt{u}} \\\\\\\boxed{f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2x-1}}}$

$\\f(x)=\sqrt[3]{x+3}\;\;\to\;\;f(u)=\sqrt[3]{u}\\\\\\\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{u}-\sqrt[3]{u-h}}{h}\;\;\to\;\lim_{h\to 0}\frac{\left (\sqrt[3]{u}-\sqrt[3]{u-h} \right )\left ( \sqrt[3]{u^2}+\sqrt[3]{u^2-uh}+\sqrt[3]{(u-h)^2} \right )}{h\left ( \sqrt[3]{u^2}+\sqrt[3]{u^2-uh}+\sqrt[3]{(u-h)^2} \right ) }$

agora o numerador é uma diferença de dois cubos que efetuamos

$\\\lim_{h\to0}\frac{h}{h\left ( \sqrt[3]{u^2}+\sqrt[3]{u^2-uh}+\sqrt[3]{(u-h)^2} \right ) } =\frac{1}{3\sqrt[3]{u^2}} \\\\\\\boxed{f'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{(x+3)^2}}}$