Calcule II
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Chronoss- Jedi
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Re: Calcule II
por Matheus Fillipe 17/7/2013, 5:33 pm
O elemento geral da série é:
An=n.x^n
Queremos a soma absolutamente convergente para x entre 0 e 1:
Para usar expansão em série de maclaurin:
^2}}{\mathrm{d}&space;x^n} "n.x^n=\frac{\mathrm{d} x^n}{\mathrm{d} x}*x=x^n*\frac{\mathrm{d^n} \frac{x}{(1-x)^2}}{\mathrm{d} x^n}")
O que pode ser obtido através de alterações da conhecida expansão da função:
Sobre as mesmas restrições. Basta expandir:
^2}=\sum_{0}^{\infty}(n+1)x^{n} "\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{0}^{\infty}(n+1)x^{n}")
Multiplicando por x, podemos mudar os extremos da série de 1 para infinito e ficaremos com a função e série correspondentes.
Para uma solução sem cálculo(com menos), notemos que parte da série é uma PG de razão x, e a outra parte é uma PA com razão 1.
An=n.x^n
Sabemos que:
}{x-1}=\frac{x}{x-1} "\sum_{1}^{\infty}x^n=\lim_{n\rightarrow \infty}x\frac{(x^n-1)}{x-1}=\frac{x}{x-1}")
Agora temos que levar de em conta a PA. A cada termo que vamos para frente é acrescentado mais um à PG, aumentando o fator de curvatura da função correspondente.
Na tentativa de isolar essa PA de razão 1:
=F.\frac{x}{1-x} "\sum_{1}^{\infty}nx^n=F.(\sum_{1}^{\infty}x^n-1)=F.\frac{x}{1-x}")
o F seria:
 "F=(\sum_{1}^{\infty}x^n)")
Mas esse não é um método muito viável.
An=n.x^n
Queremos a soma absolutamente convergente para x entre 0 e 1:
Para usar expansão em série de maclaurin:
O que pode ser obtido através de alterações da conhecida expansão da função:
Sobre as mesmas restrições. Basta expandir:
Multiplicando por x, podemos mudar os extremos da série de 1 para infinito e ficaremos com a função e série correspondentes.
Para uma solução sem cálculo(com menos), notemos que parte da série é uma PG de razão x, e a outra parte é uma PA com razão 1.
An=n.x^n
Sabemos que:
Agora temos que levar de em conta a PA. A cada termo que vamos para frente é acrescentado mais um à PG, aumentando o fator de curvatura da função correspondente.
Na tentativa de isolar essa PA de razão 1:
o F seria:
Mas esse não é um método muito viável.
Matheus Fillipe- Mestre Jedi
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Re: Calcule II
por Chronoss 17/7/2013, 6:40 pm
Desconheço as ferramentas usadas , mas tinha pensado no seguinte , veja se concorda :
Como : 0 < x < 1 , creio que podemos expressar :
, sem perder o sentido.
Logo : (I)
(II)
(I) - (II) =
^{2}}\:&space;=\:&space;\,&space;\frac{x}{\left&space;(&space;1\:&space;-\:&space;x&space;\right&space;)^{2}} "S_{n}\: =\: \frac{k}{\left (k\: -\: 1 \right )^{2}}\: =\: \, \frac{x}{\left ( 1\: -\: x \right )^{2}}")
Oque acha?
Como : 0 < x < 1 , creio que podemos expressar :
Logo : (I)
(II)
(I) - (II) =
Oque acha?
Chronoss- Jedi
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Re: Calcule II
por Elcioschin 17/7/2013, 6:57 pm
Muito boa sua solução, usando soma dos termos de uma PG
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Calcule II
por Chronoss 17/7/2013, 7:12 pm
Sr.Elcioschin , se refere a resolução do Matheus Fillipe ou a minha ? Fiquei na dúvida pois não compreendo os artifícios usados por ele na resolução.
Chronoss- Jedi
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Re: Calcule II
por Elcioschin 17/7/2013, 7:14 pm
Eu me referi à sua solução
A solução do Matheus envolve conhecimentos de cálculo (Nível Superior)
A solução do Matheus envolve conhecimentos de cálculo (Nível Superior)
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Calcule II
por Chronoss 17/7/2013, 7:30 pm
Obrigado.
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E obrigado também Matheus , quando chegar no calculo analisarei com cuidado sua resolução.
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E obrigado também Matheus , quando chegar no calculo analisarei com cuidado sua resolução.
Chronoss- Jedi
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