Parabola 2

Sejam V = (-2;-1) o vértice de uma parábola P e L : x + 2y = 1 a
equação de sua diretriz. Achar a equação da parábola e seu foco.

A reta focal l é a reta perpendicular à diretriz que passa pelo vértice.

Como L 丄 ( 1, 2 ), temos l 丄 ( 2, -1 ) e portanto, l : 2x - y = -4 +1, ou seja, l : 2x - y = -3

Seja A = ( x , y ) o ponto de intersecção das retas l e L. Então, as coordenadas X e Y satisfazem ao sistema :

2x - y = -3

x + 2y = 1

Resolvendo o sistema chega-se :

x = -1 e y = 1

Como V é o ponto médio do segmento AF, temos que F = 2v-A, ou seja, F = 2.( -2,-1) - ( -1, 1 ) ⇒

⇒F = ( -3, -3 )

Então P = (X,Y) ∈ P se, e somente se, d(PF) = d(P,L), isto é,

fazemos d(PF) = d(P,L) e resolvendo chegamos a :


d(PF) = d(P,L)

( x + 3 )^2 + ( y + 3 ) ^2 = (( x + 2Y -1 )^2 ) / 5

x^2 + 6x + 9 + y^2 + 6y + 9 = ( x^2 + 4xy + 4y^2 -2x - 4y + 1 ) / 5

5 . ( x^2 + 6x + 9 + y^2 + 6y + 9 ) = x^2 + 4xy + 4y^2 -2x - 4y + 1

5x^2 + 30x + 5y^2 + 30y + 90 = x^2 + 4xy + 4y^2 -2x - 4y + 1

P : 4x^2 - 4xy + y^2 + 32x + 34y + 89 = 0 ( que é a nossa equação da parábola)

Espero ter ajudado

e até mais