(UnB/1.2008) Átomo de Bohr

No final do século XIX e início do século XX, foram propostos diversos modelos para o átomo, entre eles, os modelos de Thomson e de Rutherford. Posteriormente, o modelo de Rutherford foi aperfeiçoado por Niels Bohr, o qual assumiu que os elétrons se comportavam, em seu movimento ao redor do núcleo, como ondas com comprimento de onda
, em que m e Vn são, respectivamente, a massa e a velocidade do elétron que se encontra na órbita indicada pelo número natural n, e h é uma constante física. Essas ondas, no modelo de Bohr, obedecem à relação , em que rn é o raio da órbita de índice n.

A partir das informações apresentadas no texto, e sabendo que a constante elétrica
, em que Eo é a constante dielétrica do vácuo, e representando por "e" a carga do próton, julgue os itens a seguir:

1) No modelo de Bohr para determinado átomo, quanto maior for o raio da órbita de índice n, menor será a velocidade do elétron que se encontra nessa órbita.
2) No modelo de Bohr, a relação , referida no texto, está associada ao fato de que os nós e os ventres de uma onda estacionária não mudam de posição ao longo do tempo.

3) A energia total do elétron no átomo de hidrogênio no modelo de Bohr é dada por


Gabarito:
1) Errado
2) Certo
3) Errado
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Item 1: Tem como mostrar matematicamente?
Item 2: Como posso afirmar que a relação está associada ao fato que ele diz?
Item 3: Na internet, encontrei que no lugar do 4, na verdade é 8. Mas não consegui nem chegar perto dessa equação.

Vou iniciar com a demostração do item 2:
Imagine que você tenha que desenhar uma onda de frequência constante ao longo de uma circunferência, como a função seno do ângulo mais alguma coisa (que seria o raio) em coordenadas polares. Acontece que essa onda tem que ser periódica ao longo de seu comprimento, ou seja, ela tem que fechar com o seu começo novamente e a condição que para isso aconteça é justamente a de que o comprimento de onda seja um múltiplo inteiro do comprimento dessa circunferência, que é a trajetória do elétron. Sendo cada n representante de uma frequência possível. O fato de ela ser estacionária e natural em toda física quântica. Ela não é realmente obtida diretamente da expressão anterior, mas associa-se pelo fato de representar uma configuração de onda para o elétron em função de um certo nível de energia, Rn.
Vamos a demostração do segundo item:
Com base que:
λ=h/mv onde m é a massa e v a velocidade do elétron, ( essa relação é obtida da relação E=hf de planck, juntamente com a energia da massa de repouso E=mc^2, da relatividade é chamada de hipótese de de broglie, confirmada pelo experimento da dupla fenda)
E que 2pir=nλ temos:
2pir=nh/mv

ou melhor:
v=nh/(2 pi mr )


Assim v é inversamente proporcional a r.

item 3:
Essa é uma boa demostração, fundamental para o modelo de Bhor. Temos a relação:
2pir=nh/mv => r=nh/2piv

Por outro lado, analisando a energia do sistema átomo, temos que para a orbita a energia total:
E=k-u k: energia cinética, u potencial

por outro lado mv^2 /r =-e^2/r^2 pelas relações de força centrípeta e eletrostática em uma orbita. multiplicando a ultima relação por r de forma a obter 2k, temos a relação:( considerando as formulas clássicas de energia potencial elétrica e cinética)
2k=u

substituindo na energia total:

E=-u/2= -e^2/2r

Com base na expressão para r:

E=-me^4/8n^h^2 ε
com base que:
v=raix(e^2/rm)

Espero ter ajudado!! (a parte final da demostração eu deixo pra vc)