Átomo de Böhr

Considere o modelo atômico de Böhr para o átomo de hidrogênio. O átomo é preparado no 2º nível excitado, absorve um dado fóton e passa a ocupar um estado estacionário de momento angular de [latex]\frac{15h}{2\pi}[/latex]. Determine o comprimento de onda do fóton absorvido pelo sistema atômico.

No modelo atômico de Bohr, o momento angular de um elétron que está em um nível de energia n é dado por:
L = nħ
onde ħ é a constante reduzida de Planck.
Se o átomo de hidrogênio está inicialmente no segundo nível excitado (n = 2), então o momento angular do elétron é dado por:
L = 2ħ
Após absorver um fóton, o elétron salta para um estado estacionário de momento angular . Podemos usar a condição de quantização do momento angular para determinar o valor de n para esse novo estado:
L = nħ
= nħ
Substituindo os valores de L e ħ, temos:
2ħ = nħ
n = 2
Portanto, o átomo de hidrogênio passou para o estado fundamental (n = 1) após absorver o fóton.
O comprimento de onda do fóton absorvido é dado pela equação de Planck-Einstein:
E = hν = hc/λ
onde E é a energia do fóton, h é a constante de Planck, ν é a frequência do fóton, c é a velocidade da luz e λ é o comprimento de onda.
A energia do fóton pode ser calculada a partir da diferença de energia entre os níveis de energia inicial e final do átomo de hidrogênio:
ΔE = Efinal - Einicial
A energia do elétron no estado excitado (n = 2) é dada por:
E2 = - 13,6 eV / 22
A energia do elétron no estado fundamental (n = 1) é dada por:
E1 = - 13,6 eV
Portanto, a energia do fóton absorvido é:
ΔE = E2 - E1 = - 13,6 eV / 22 + 13,6 eV = 10,2 eV
Substituindo os valores de h e c na equação de Planck-Einstein e convertendo a energia do fóton para joules, temos:
10,2 eV = 1,63 × 10^-18 J
λ = hc/E = 1,24 × 10^-6 m = 1,24 μm
Portanto, o comprimento de onda do fóton absorvido é de 1,24 μm.

Muito obrigado, @gilsongb! Que Deus te abençoe!