fatoração legal

a + b + c + d = 3

(a + b + c + d)² = 3² ----> (a² + b² + c² + d²) + 2*(ab + ac + ad + bc + bd + cd) = 9

Fazendo ab + ac + ad + bc + bd + cd = x, temos:

45 + 2x = 9 ----> x = - 18

(a + b + c + d)³ = (a³ + b³ + c³ + d³) + a*(b² + c² + d²) + b*(a² + c² + d²) + c*(a² + b² + d²) + d*(a² + b² + c²) + 2x*(a + b + c + d)

3³ = (a³ + b³ + c³ + d³) + a*(b² + c² + d²) + b*(a² + c² + d²) + c*(a² + b² + d²) + d*(a² + b² + c²) + 2x*3

(a³ + b³ + c³ + d³) + a*(b² + c² + d²) + b*(a² + c² + d²) + c*(a² + b² + d²) + d*(a² + b² + c²) = 27 - 2x



1º denominador ----> (a-b)*(a-c)*(a-d) = a³ - a²*(b + c + d) + abc + abd + acd + bcd

2º denominador ----> (b-a)*(b-c)*(b-d) = b³ - b²*(a + c + d) + abc + abd + acd + bcd

3º denominador ----> (c-a)*(c-b)*(c-d) = c³ - c²*(a + b + d) + abc + abd + acd + bcd

4º denominador ----> (d-a)*(d-b)*(d-c) = d³ - d²*(a + b + c) + abc + abd + acd + bcd

A partir de agora é só fazer contas, tirando o MMC, juntando termos semelhantes e chegar no resultado.

Embora bem trabalhoso deve-se chegar no resultado.

a³ / (a-b)(a-c) + b³ / (b-a)(b-c) + c³ / (c-a)(c-b)