MHS com cargas.

A figura mostra uma carga Q fixa, presa a uma mola de constante elástica α. Na outra extremidade da mola há uma carga móvel q (de mesmo sinal que Q) e massa m, livre para se mover sem atrito. Considerando que na posição de equilíbrio de q a mola possui um comprimento L, e que a constante eletrostática do meio é K, o valor do período para pequenas oscilações de q é dado por:




Não tenho gabarito. ):

Força elástica da mola ----> Fm = α.L

Força de repulsão elétrica -----> Fe = k..Q.q/L²

Fm = Fe -----> α.L = k.Q.q/L² ----> L³ = k.Q.q/α ----> L = (k.Q.q/α)^(1/3)

T = 2pi.(m/α)^(1/2) ----> Substitua L e calcule T

No equilíbrio:
Fel=Felas
α.x1=kQq/L²

A força resultante será:
Fr=kQq/(L+x)²-α(x1+x)
Fr=kQq/(L+x)²-αx1-αx
substitui αx1
Fr=kQq(1/(L+x)²-1/L²)-αx
segunda lei de Newton:
Fr=md²x/dt²
assim
md²x/dt²=kQq(1/(L+x)²-1/L²)-αx
md²x/dt²=kQq(L²-L²-2Lx-x²)/L²(L+x)²)-αx [usei o fato de que são pequenas oscilações, assim x²≈0]
md²x/dt²=-2kQqx/L(L+x)²-αx
mas L+x ≈L
md²x/dt²=-2kQqx/L³-αx
d²x/dt²+x((2kQq/L³+a)/m)=0
Esta é a equação do MHS
comparando com a usual
d²x/dt²+w²x=0
assim
w²=(2kQq/L³+a)/m)
4π²/T²=2kQq/L³+a)/m
T²=(4π²)m/(2kQq/L³+a)
T=2πsqrt(m/(2kQq/L³+a))

Em Latex para melhor visualizar:



Eu faria assim. O que vocês acham?

Espero que ajude e que seja isso.