As Formigas e o Açúcar

por **Elcioschin** Qui 28 Jan 2010, 10:07

Uma montanha tem o formato de um cone perfeito, com raio da base R e geratriz L.
Num ponto A, situado sobre a circunferência da base, existe um formigueiro e no ponto B, situado sobre a mesma circunferência e a 180º do ponto A existe um depósito de açúcar. Qual é o menor caminho que devem percorrer as formigas para atingir o depósito ?

por Viniciuscoelho Qui 28 Jan 2010, 11:49

Consideremos:
https://2img.net/r/ihimizer/i/circ1.jpg/

Fonte: http://mil.codigolivre.org.br/projetos/blog/cone.html

"x" é a menor distância possível.

Logo:
https://2img.net/r/ihimizer/i/circ2.jpg/

cos B° = (x/2)/L
B° = 90 - A°/4

cos (90 - A°/4) = (x/2)/L
x/2 = L*cos (90 - A°/4)

x = 2*L*cos (90 - A°/4)

Essa é a menor distância possível.

por **Elcioschin** Qui 28 Jan 2010, 21:22

A sua figura está corretísima, porém a resposta está incompleta: a resposta deveria ser dada em função de R e L e você deu a resposta em função de L e A.

Para facilitar a resposta eu vou chamar de 2T o ângulo total do cone planificado, correspondente ao arco 2*pi*R

Assim, o ângulo T corresponde à metade do arco, isto é, pi*R

A fórmula que relaciona a metade do arco AB (pi*R) ao ângulo T e ao raio L do setor círcular do cone planificado é:

pi*R = L*T ----> T = pi*R/L rad

senT = (x/2)/L ----> sen(pi*R/L) = x/2*L ----> x = 2*L*sen(pi*R/L)

por Viniciuscoelho Qui 28 Jan 2010, 21:42

A sua figura está corretísima, porém a resposta está incompleta: a resposta deveria ser dada em função de R e L e você deu a resposta em função de L e A.

Vou ficar mais atento, obrigado!

Abraços