O lado do triângulo

por Dinheirow Dom 05 maio 2013, 01:29

Um ponto interno de um triângulo equilátero dista 5cm, 7cm e 8cm dos vértices do triângulo. Determine o lado desse triângulo

Spoiler:

:bounce::bounce:

por philipeph Dom 05 maio 2013, 01:49

Temos uma fórmula :

3(p^4 + q^4 + t^4 + a^4) = (p² + q² + t² + a²)²

Sendo :
p = 5
q = 7
t = 8
a = Lado do Triângulo

Resolvendo os valores,ficará :

3(5^4 + 7^4 + 8^4 + a^4) = (5² + 7² + 8² + a²)².
3.7122 + 3a^4 = 138² + 2.138.a² + a^4
21366 - 19044 + 3a^4 - a^4 - 276a² = 0
2a^4 - 276a² +2322 = 0

Resolva a equação,sendo a² = K

Ficará 2k² - 276k + 2322 = 0

Ao achar as raízes,basta substituir ( Descartando a raíz negativa ).

Sendo K = 129 = a²
a = V129

por Dinheirow Dom 05 maio 2013, 03:05

Oo de onde vem essa formula?

por philipeph Dom 05 maio 2013, 03:30

Para melhor entender essa fórmula,dê uma olhada neste tópico :

http://en.wikipedia.org/wiki/Equilateral_triangle

Se você tem X,Y e Z distâncias dos vértices a um mesmo ponto e quer o lado do TE,pode utilizar esta fórmula.

por **Elcioschin** Dom 05 maio 2013, 20:49

É facílimo demonstrar o Teorema

Seja P o ponto interno e L o lado
Ligue P aos vértices A, B e C

Trace as 3 alturas h1, h2, h3

S = L.h1/2 + L.h2/2 + L.h3/3 ---> S = (L./2).(h1 + h2 + h3)

S = L.H/2 ----> H é altura do triângulo

Igualando ----> H = h1 + h2 + h3 ----> H = 5 + 7 + 8 ----> H = 20

H = L.\/3/2 ----> 20 = L.\/3/2 ----> L = 40.\/3/3

por Dinheirow Dom 05 maio 2013, 23:20

Valeu, phelipep, o artigo na wikipedia é bastante objetivo e consegui resolver o problema aqui, tanto pela aplicação do Teorema de Heron, como pela sua fórmula ninja :afro:

Obrigado, Elsiochin, mas as distâncias citadas no enunciado são do ponto P aos vértices do triângulo, não aos lados.