UFU 1998

Considere uma pirâmide regular de base quadrada, cujo comprimento da aresta da base é igual a
2 cm. Efetuando-se um corte, na pirâmide, paralelo a essa base na altura de 1 cm, o tronco dessa
pirâmide, assim obtido, tem volume igual a (5/3)cm³. Dessa forma, a altura da pirâmide é igual a:


Spoiler:

Estou com dificuldade para resolver o exercício. Ajuda, por favor.



Volume da pirâmide ----> V = (1/3).2².H ----> V = (4/3)*H

Seja a a aresta da base superior do tronco:

Semelhança ----> H/2 = (H - 1)/a ----> a = 2.(H - 1)/H ----> a² = 4.(H - 1)²/H²

Volume da pirâmide retirada para dar origem ao tronco ----> v = (1/3).a².(H - 1) ----> v = (1/3).[4.(H - 1)²/H²]/H² ----> v = (4/3).(H - 1)³/H²

Volume do tronco ----> Vt = V - v ----> 5/3 = (4/3).H - (4/3).(H - 1)³/H² ----> 5 = 4H - 4.(H - 1)³/H² ----> 5.H² = 4.H³ - 4.(H - 1)³ ---->

5.H² = 4.H³ - 4.(H³ - 3H² + 3.H - 1) ----> 5H² = 12.H² - 12.H + 4 ----> 7.H² - 12.H + 4 = 0

Raiz positiva ----> H = (2.\/2 + 6)/7