Determinando o módulo da gravidade!

Olá pessoal, beleza?
Tô com muita dificuldade em resolver tal exercício:

Um projétil é lançado verticalmente para cima, no instante t=0, a partir do solo. O projétil passa por um ponto A a uma altura H acima do solo nos instantes t1(subida) e t2(descida). Despreze o efeito do ar. O valor de g é dado por:
a) H / t1t2
b) H / 2t1t2
c) 2H / t1t2
d) 2H(t1 + t2) / t1²
e) 2H(t1 + t2) / t2²


A resolução que fiz foi a seguinte:

- Hmax
| \ t2
| /
- ponto A
| \
| |
| | t1
| /

Até chegar em A (subida):
V = Vo + at -> V = Vo-gt1 (I)

Tempo até alcançar Hmax: t1+t2, pois o tempo de subida é igual ao de descida. Assim, de A até Hmax = t2, tanto subindo quanto descendo.

Assim, até Hmax: V = Vo -g.t
0 = Vo -g(t1+t2) -> Vo = g(t1+t2) (II)

Colocando II em I, temos:
V = g(t1+t2)-g.t1 = g.t1+g.t2-g.t1 = g.t2 Então a velocidade no ponto A, tanto na subida quanto na descida é g.t2

Aí, partindo do ponto A com Vo = g.t2, em queda e com t = t1 (pois é entre H e o chão):

S = So + Vo.t + a.t²/2
H = 0 + g.t2.t1 + g.t1²/2
2H = 2g.t2.t1 + g.t1²
2H = g(2.t2.t1 + t1²)

g = 2H / (2.t2.t1 + t1²)

O problema é que não tem essa alternativa.
Fiz algo de errado aí no meio? Obrigado pela ajuda!

atifumacaxi,

Seu erro está na interpretação dos tempos. Quando o projétil parte do chão o cronômetro é iniciado. Ao passar pela primeira vez por A o cronômetro marca t₁s. Após subir até a altura máxima e retornar ao ponto A pela segunda vez, o cronômetro marca t₂s. Os tempos são sequenciais.

Ao chegar pela primeira vez em A:



o intervalo de tempo até alcançar a altura máxima será



de modo que



da equação dos espaços

Ah certo! Os tempos são contínuos! Então (t2-t1) / 2 é devido ao fato de o tempo entre A e o Hmax ser a diferença entre os tempos (tempo entre A na subida até chegar nele novamente) e dividido por 2 (somente a subida)!

Muito obrigado pela ajuda! Estou muito agradecido, de verdade!
Até mais!