cmrj 2012 -área do quadrilátero

por **raimundo pereira** Sáb 05 Jan 2013, 18:58

Um quadrilátero ABCD possui a diagonal menor AC=4cm, a diagonal maior BD=10cm e o ângulo B^PC=30º, onde P é o ponto de interseção das diagonais. Calcule, em cm². o valor da área deste quadrilátero.

a)10
b)12
c)14
d)16
e)18

Resp alternativa A.

por **Leonardo Sueiro** Sáb 05 Jan 2013, 19:33

Caso queira, espere alguém generalizar. Mas, em uma prova, pensaria no paralelogramo.

Lembrando que as diagonais do paralelogramo se interceptam no ponto médio, podemos usar o seno para calcular as áreas dos quatro triângulos formados:

A = 2*5*sen150/2 + 2*5*sen150/2 + 2*5*sen30/2 + 2*5*sen30/2

A = 10

por **Leonardo Sueiro** Sáb 05 Jan 2013, 19:45

ops! Dá para generalizar do modo como fiz acima:

cmrj 2012 -área do quadrilátero Semttulozuh

as diagonais serão dividadas em quatro segmentos:
y; 10-y; x; 4-x

S = [(4-x)(10-y)*sen150]/2 + [(10-y)x*sen30]/2 + [(x)(y)*sen150]/2 + [(4-x)y*sen30]/2

S = 10

por **raimundo pereira** Sáb 05 Jan 2013, 21:38

Blz Leo ! Obrigado . Agora você fez uma cesta de três pontos :bball:
Mas, acho que não podemos afirmar que sempre o quadrilátero será um paralelogramo. Na minha opinião essa 2a resolução é a correta.

por **Leonardo Sueiro** Dom 06 Jan 2013, 18:46

Valeu raimundo.

Veja que o examinador não saberia o modo pelo qual resolvemos. Como tempo conta bastante, acho que seria uma solução mais apropriada.

por leonardo camilo tiburcio Seg 07 Jan 2013, 15:01

Um teorema importante , em um quadrilátero sempre que as diagonais se interceptam no meio , a área será a razão entre as diagonais vezes o seno do ângulo formado entre eles!

por Gomez Qua 16 Ago 2023, 09:59

SOLUÇÃO

Tracemos as retas:

r // AC e passando por B
s // AC e passando por D
t // BD passando por A
u // BD passando por C

Sejam:

P1 = s ∩ t
P2 = r ∩ t
P3 = t ∩ u
P4 = u ∩ s

Logo: P1P2 ≡ BD = 4 e P1P4 ≡ AC = 10 e o ângulo AP1D = 30º

Note que a área do quadrilátero ABCD é igual à metade da área do quadrilátero P1P2P3P4. Portanto, igual à área do triângulo P1P2P4.

Assim, a área do quadrilátero ABCD é dada por:

[ABCD] = (P1P4 x P1P2 x sen 30º)/2 ou
[ABCD] = (AC x BD X sen 30º)/2

[ABCD] = (10 x 4 x 0,5)/2

[ABCD] = 10