CMRJ 2012 - Divisibilidade

05) Patrícia necessita telefonar para Arthur, mas lembra apenas dos 4 primeiros algarismos do número do telefone dele. Faz contato com guilherme, que lhe dá as seguintes informações sobre os 4 algarismos restantes:
- formam um número divisível por 12;
- o algarismo das dezenas é 7;
- o algarismos das unidades de milhar é 5.

A quantidade máxima de possibilidade que Patrícia deverá verificar para identificar o número correto é:

(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8

Minha resolução:
N ---> ABCD ---> AB7D ---> 5B7D (Divisível por 12, então deve ser divisível por 3 e por 4)
Para ser divisível por 4 os dois últimos algarismos devem formam um número múltiplo de 4.
Logo, N = 5B72 ou N = 5B76.
Para ser divisível por 3 a soma dos algarismos deve ser um múltiplo de 3.
5B72 ---> 5 + 7 + 2 + B = 14 + B ---> B {1,4,7}
5B76 ---> 5 + 7 + 6 + B = 18 + B ---> B {0,3,6,9}
Então, temos as possibilidades:
5172,5472,5772,5076,5376,5676 e 5976.

Obs.: Mensagem editada!

4 dígitos restantes --> abcd --> c = 7 e a = 5 --> n = 5b7d

Para ser divisível por 4, seus dois últimos algarismos devem ser sempre números divisíveis por 4. Então temos que analisar os divisíveis por 4 na forma 7d. É verdade para d = 2 e d = 6.

Para ser divisível por 3, a soma dos algarismos deve ser divisível por 3:

5 + b + 7 + d = 3k, mas sabemos que d = 2 ou d = 6, então:

5 + b + 7 + 2 = 3k --> b = 3k - 14

5 + b + 7 + 6 = 3k --> b = 3k - 18

Só que b deve ser estar compreendido entre 0 e 9 e k deve ser inteiro, então analisando cada caso:

0 ≤ 3k - 14 ≤ 9 --> 14/3 ≤ k ≤ 23/3 --> há 3 valores inteiros para k (5, 6 e 7)

0 ≤ 3k - 18 ≤ 9 --> 6 ≤ k ≤ 9 --> há 4 valores inteiros para k (6, 7, 8 e 9)

Dessa forma, há um total de 7 valores inteiros de k que satisfazem a questão, implicando na existência de 7 possibilidades de número.

Creio que o gabarito esteja realmente preciso.

Abraço

Valeu João, esqueci completamente que B poderia ser 0, porque 18 + 0 = 18 que é múltiplo de 3. Estou editando a minha resolução...


Abraço.