Polinômio

Boa noite.
Meu professor passou um exercício e deu um macete para resolve-lo mais rapidamente.

O problema é o seguinte:

O polinômio x³ - 4x² - x + 2, quando dividido por x + 1 dá resto 3 e quando dividido por x - 2 dá resto 5, então, o resto da divisão por (x + 1)(x - 2) é:

O macete seria assim ó: como o divisor é um polinômio do segundo grau, o resto deve ser no máximo do primeiro grau r(x) = ax + b

Daí como na divisão por x + 1 dá resto 3, substituindo no resto x por -1 e igualando a 3:

-a + b = 3

E como na divisão por x - 2 dá resto 5, substituindo no resto x por 2 e igualando a 5:

2a + b = 5

Resolvendo o sistema encontra o resto da divisão.

Bem, na aula eu já fiquei desconfiado. Chegando em casa, para comprovar, desenvolvi o divisor e dividi pelo método da chave e constatei que as respostas não batiam...

O que eu gostaria de saber é se há realmente alguma dica para questões desse tipo. Porque meu professor aparentava ter esquecido do macete, mas resolveu dar o que achou que era certo.

Agradecido.

quando o polinômio é de grau n e o resto procurado é o da divisão do produto de binômios q formam um grau (n - 1) eu uso essa mesma lógica, acho bem simples e rápida

só pra corroborar a resposta que você deve ter encontrado:

P(x) = (x + 1)(x - 2)Q(x) + ax + b

P(-1) = 3 = -a + b
P(2) = 5 = 2a + b

resolvendo o sistema:
a = (2/3)
b = (11/3)

Foi esse o resultado que encontrei.

Então o resto é R(x) = (2/3)x + 11/3, blza...

Mas se eu pegar o divisor, (x + 1)(x - 2) ---> x² - x - 2 e proceder fazendo a divisão pelo método das chaves:

(x³ - 4x² - x + 2)/(x² - x - 2)

Eu encontro outra resposta para o resto, R(x) = - 2x - 4

Como pode?!?!

Faça essa divisão pra mim, por favor. Só para ver se eu não to errando nas contas.

(mod x² - x - 2):
x² - x - 2 ≡ 0 => x² ≡ x + 2 => x³ ≡ x² + 2x ≡ (x + 2) + 2x ≡ 3x + 2
x³ - 4x² - x + 2 ≡ (3x + 2) - 4(x + 2) - x + 2 ≡ -2x -4
Donde: R(x) = -2x -4

Os dados do enunciado estão incorretos.
Dá pra perceber inclusive fazendo as congruencias módulo x + 1 e x - 2.

Alguma coisa tinha que tá errado...

Valeu!