Fórum PiR2
Gostaria de reagir a esta mensagem? Crie uma conta em poucos cliques ou inicie sessão para continuar.

Teorema de Girard-Demonstração

2 participantes

Ir para baixo

Teorema de Girard-Demonstração Empty Teorema de Girard-Demonstração

Mensagem por JOAO [ITA] 31/10/2012, 9:02 pm

Recentemente,estudando polinômios, me deparei com um Teorema bem interessante de autoria de Albert Girard (1590 – 1633) que simplifica bastante o modo de achar somas de Newton.

O enunciado diz o seguinte:
Teorema de Girard:
"Dividindo-se (utilizando o método algébrico) a derivada de um polinômio P(x) pelo polinômio original, obtém-se um quociente resultado do tipo:

Teorema de Girard-Demonstração Codecogseqn50



Onde Teorema de Girard-Demonstração Codecogseqn51 são as somas de Newton."



Demonstração:

Seja P(x) um polinômio de grau n com raízes: Teorema de Girard-Demonstração Codecogseqn52

De acordo com o Teorema de D'Alembert, podemos fatorar P(x) como:

Teorema de Girard-Demonstração Codecogseqn53



Apliquemos a operação "logaritmo neperiano (In)" em ambos os lados da igualdade:

Teorema de Girard-Demonstração Codecogseqn54



Derivando a equação acima com relação a x:

Teorema de Girard-Demonstração Codecogseqn55



Dando uma "arrumada" nos termos, temos:

Teorema de Girard-Demonstração Codecogseqn57



Pode-se perceber que cada parcela do lado direito da igualdade acima se parece muito com uma soma de P.G infinita. Vale relembrar que:

Teorema de Girard-Demonstração Codecogseqn58



Ora, mas cada parcela da igualdade da Equação III se assemelha bastante com o valor da soma de uma P.G. infinita.

Teorema de Girard-Demonstração Codecogseqn59



A condição de convergência da P.G. infinita (|q|< 1) é satisfeita, pois:

Teorema de Girard-Demonstração Codecogseqn60



Ou seja, podemos reescrever a equação III como:

Teorema de Girard-Demonstração Codecogseqn61



Arrumando:

Teorema de Girard-Demonstração Codecogseqn63

JOAO [ITA]
JOAO [ITA]
Fera
Fera

Mensagens : 866
Data de inscrição : 25/02/2012
Idade : 24
Localização : São José dos Campos,SP,Brasil

Ir para o topo Ir para baixo

Teorema de Girard-Demonstração Empty Re: Teorema de Girard-Demonstração

Mensagem por aprentice 1/11/2012, 2:31 am

A demonstração clássica...
Legal.
aprentice
aprentice
Jedi
Jedi

Mensagens : 355
Data de inscrição : 28/09/2012
Idade : 27
Localização : Goiânia - Goiás - BR

Ir para o topo Ir para baixo

Ir para o topo


 
Permissões neste fórum
Você não pode responder aos tópicos