Teorema de Girard

Se [latex]x_{1}, x_{2}, x_{3}[/latex] são as raízes da equação [latex]x^{3}-2x^{2}+x-3=0[/latex], então [latex]\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}+x_{2}+2x_{3}}+\frac{x_{1}+x_{3}}{x_{1}+2x_{2}+x_{3}}+\frac{x_{2}+x_{3}}{2x_{1}+x_{2}+x_{3}}[/latex] é igual a:

A) 0
B) 1-i
C) 1
D) [latex]\sqrt{2}[/latex]
E) não pode ser determinado.

Acho que essa questão sai por Teorema de Girard, mas não consegui. Se alguém pudesse enviar uma resolução, usando esse teorema ou não, agradeceria bastante.

gustavogc14 escreveu:Se [latex]x_{1}, x_{2}, x_{3}[/latex] são as raízes da equação [latex]x^{3}-2x^{2}+x-3=0[/latex], então [latex]\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}+x_{2}+2x_{3}}+\frac{x_{1}+x_{3}}{x_{1}+2x_{2}+x_{3}}+\frac{x_{2}+x_{3}}{2x_{1}+x_{2}+x_{3}}[/latex] é igual a:

A) 0
B) 1-i
C) 1
D) [latex]\sqrt{2}[/latex]
E) não pode ser determinado.

Acho que essa questão sai por Teorema de Girard, mas não consegui. Se alguém pudesse enviar uma resolução, usando esse teorema ou não, agradeceria bastante.

Boa noite, amigo. Então, acho que, pelo contexto da questão, você quis dizer "Relações de Girard" e não "Teorema de Girard", certo? Apenas a título de curiosidade, caso não saiba, existe sim um "Teorema de Girard" que serve para achar as somas de Newton de um polinômio (Somas mesmo, não binômio) dividindo a derivada desse por ele mesmo. Mas enfim, isso é só uma curiosidade mesmo, afinal, duvido muito que você um dia vá usar isso... a menos que esteja se preparando para o IME/ITA.
 Agora sobre a questão: Consegui chegar num resultado (4), mas não bate com nenhuma das alternativas e requer um BAITA de um trabalho algébrico. Não sei se estou deixando alguma fatoração facilitadora passar ou a questão é trabalhosa mesmo. De qualquer forma, o que fiz foi, basicamente, substituir os numeradores e denominadores usando as relações de Girard (Ex: X1+X2 por (X1+X2+X3)-X3= 2-X3); após isso, tirei o MMC e o resto foi só trabalho algébrico e mais relação de Girard.
 Provavelmente devo ter errado algo nesse mundaréu de conta, mas espero que, agora sabendo o caminho das pedras, consiga resolver! Quando tiver tempo volto aqui e tento resolvê-la de uma forma mais simples e te enviar uma resolução clara.

Eu estava realmente falando do teorema de Girard, estou me preparando para o ITA e essa questão estava em uma lista em que algumas questões usavam tal teorema. Eu estava tentando a questão pelo seu método também, porém o resultado não foi muito agradável kkkkkk. Mas obrigado, depois tentarei novamente esse problema.

Eis as três relações de Girard:

x1 + x2 + x3 = 2

x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = 1

x1.x2.x3 = 3

A partir dai é Álgebra e bem trabalhosa
Sugiro substituir as raízes por a, b, c para facilitar a escrita.
E recomendo muita, muita paciência!

gustavogc14 escreveu:Eu estava realmente falando do teorema de Girard, estou me preparando para o ITA e essa questão estava em uma lista em que algumas questões usavam tal teorema. Eu estava tentando a questão pelo seu método também, porém o resultado não foi muito agradável kkkkkk. Mas obrigado, depois tentarei novamente esse problema.

Ahhh, então somos dois! kkkkkk. Mas não consigo ver onde teorema de Girard se encaixaria aí, afinal, mesmo após o desenvolvimento algébrico, não irá aparecer nenhuma soma de Newton senão a trivial (S1)... Acho que realmente é questão de ter paciência, como o amigo Elcioschin disse. Desculpe por não poder ajudar mais :/