análise combinatória

por thiago12 Dom 30 Set 2012, 18:23

qual é o número total de maneiras distintas de distribuir 20 notas de R$ 100,00 cada uma, entre 4 pessoas?
Resposta:1771

por **Robson Jr.** Dom 30 Set 2012, 19:22

Suponha que cada nota seja representada por uma bolinha.

$\underset{3}{\underbrace{\bullet\bullet\bullet}}| \underset{7}{\underbrace{\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet}}| \underset{5}{\underbrace{\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet}}| \underset{5}{\underbrace{\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet}}$

A arrumação acima, em que as 20 notas são separadas por 3 barras, pode ser entendida como:

→ A primeira pessoa recebe 3 notas;
→ A segunda pessoa recebe 7 notas;
→ A terceira pessoa recebe 5 notas;
→ A quarta pessoa recebe 5 notas.

Assim, o problema equivale a determinar de quantas maneiras podemos arranjar 20 bolinhas e 3 barras.

Permutação de 23 elementos, com repetição de 20 bolas e 3 barras:

$P^{23}_{20,3}=\frac{23!}{20!3!}=\frac{23.22.21}{3.2}={\color{Red} 1771}$

Pela mesma analogia, o número de soluções inteiras não-negativas de uma equação da forma:

$x_1+x_2+...+x_n=k$

Vale:

$\small P^{k+n-1}_{k,n-1}=\frac{(k+n-1)!}{k!(n-1)!}$

por thiago12 Dom 30 Set 2012, 23:48

valeu meu, alias, você o nome de um bom livro de combinatória e probabilidade?

por **Robson Jr.** Dom 30 Set 2012, 23:51

Análise Combinatória e Probabilidade, Morgado/Pitombeira/Paulo Cezar/Fernandez

O livro teoricamente é voltado para especialização de professores de matemática, mas no segmento militar é chamado (e eu concordo) de "bíblia da combinatória".

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