Lados do triângulo em P.A.

por **aryleudo** Qua 18 Nov 2009, 20:49

(Processo Seletivo Semipresencial 2009.2 - UFC)
Se os valores das medidas dos lados de um triângulo retângulo são termos de uma progressão aritmética
de razão 2 então a medida da hipotenusa desse triângulo é:

A) 10 unidades de comprimento.
B) 11 unidades de comprimento.
C) 12 unidades de comprimento.
D) 13 unidades de comprimento.
E) 14 unidades de comprimento.

por Paulo Testoni Qui 19 Nov 2009, 13:10

Hola.

os lados do triângulo retângulo são: (x, x + 2, x + 4), note que o lado maior x + 4 é a hipotenusa.

Pelo Teorema de Ouro, temos:

(x + 4)² = x² + ( x + 2)², desenvolvendo ambos os lados, fica:
x² + 8x + 16 = x² + x² + 4x + 4, reduzindo os termos independentes, temos:

x² - 4x - 12 = 0, por Baskara:
x' = - 2 não serve
x'' = 6, substituindo esse valor na sequência x + 4, encontramos:

x + 4 = 6 + 4 = 10

Também poderia ser assim:

temos a sequência: (x - 2, x, x + 2), onde x + 2 é a hipoternusa por ser o lado maior.

Por Pitágoras, temos:

(x +2)² = x² + (x - 2)², encontramos:

x² - 8x = 0, logo:
x*(x - 8) = 0, donde:
x' = 0 não serve e
x'' = 8, portanto:

x + 2 = 8 + 2 = 10