Lados do triângulo em P.A.

(Processo Seletivo Semipresencial 2009.2 - UFC)
Se os valores das medidas dos lados de um triângulo retângulo são termos de uma progressão aritmética
de razão 2 então a medida da hipotenusa desse triângulo é:

A) 10 unidades de comprimento.
B) 11 unidades de comprimento.
C) 12 unidades de comprimento.
D) 13 unidades de comprimento.
E) 14 unidades de comprimento.

Hola.

os lados do triângulo retângulo são: (x, x + 2, x + 4), note que o lado maior x + 4 é a hipotenusa.

Pelo Teorema de Ouro, temos:

(x + 4)² = x² + ( x + 2)², desenvolvendo ambos os lados, fica:
x² + 8x + 16 = x² + x² + 4x + 4, reduzindo os termos independentes, temos:

x² - 4x - 12 = 0, por Baskara:
x' = - 2 não serve
x'' = 6, substituindo esse valor na sequência x + 4, encontramos:

x + 4 = 6 + 4 = 10

Também poderia ser assim:

temos a sequência: (x - 2, x, x + 2), onde x + 2 é a hipoternusa por ser o lado maior.

Por Pitágoras, temos:

(x +2)² = x² + (x - 2)², encontramos:

x² - 8x = 0, logo:
x*(x - 8) = 0, donde:
x' = 0 não serve e
x'' = 8, portanto:

x + 2 = 8 + 2 = 10

Parabéns pela excelente solução apresentada Paulo.
Forte abraço,
Aryleudo.