Números complexos (4)

por Fernando_Vieira Sáb 28 Jul 2012, 13:11

PROVE que se $Números complexos (4) Gif.latex?x+\frac{1}{x^{n}}=2$ , então $Números complexos (4) Gif.latex?x^{n}+\frac{1}{x^{n}}=2$ .

por **Robson Jr.** Sáb 28 Jul 2012, 19:57

A equação inicial correta é $\small x+\frac{1}{x}=2.cos(\alpha)$ . Vejamos se conseguimos tirar algumas conclusões a partir dela.

Seja x um complexo genérico, não-nulo, da forma x = a + bi.

$\small a+bi+\frac{1}{a+bi}=2.cos(\alpha) \Rightarrow a+\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+i\left ( b-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right )=2.cos(\alpha)+0i$

Por igualdade de complexos:

$\small b-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=0 \Rightarrow b\left ( 1-\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} \right )=0 \Rightarrow b=0 \text{ ou } \sqrt{a^2+b^2}=1$

Estudemos os casos possíveis.

1º caso: $\small b=0$

Como o complexo não pode ser nulo, a ≠ 0. A equação inicial ficaria:

$\small a+\frac{1}{a}=2.cos(\alpha) \Rightarrow a^2-(2.cos(\alpha))a+1=0 \\\\ \rightarrow \Delta=4.cos^2(\alpha)-4 =4(cos^2(\alpha)-1)=-sen^2(\alpha)$

Logo não existe a real que satisfaça a equação, tornando o caso impossível.

2º caso: $\small \sqrt{a^2+b^2}=1$

Tendo nosso complexo módulo unitário, é conveniente escrevê-lo na forma trigonométrica:

$\small a+bi=\sqrt{a^2+b^2}.cis(\theta)=cos(\theta)+i.sen(\theta)$ , com a = cos(θ) e b = sen(θ) (igualdade de complexos).

A equação inicial ficaria:

$\small a+\frac{a}{1}+i(b-\frac{b}{1})=2.cos(\alpha) \Rightarrow a=cos(\theta)=cos(\alpha) \Rightarrow \theta=\alpha$

Logo $\small a+bi=cos(\alpha)+i.sen(\alpha)$ . Usando na segunda equação do enunciado:

$\small x^n+\frac{1}{x^n}=cis(n\alpha)+\frac{1}{cis(\alpha)}={\color{Red} 2.cos(n\alpha)}$

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