Uma PG diferente

"Calcule a razão de uma PG de dez termos, sabendo que os seis primeiros termos possuem exatamente quatro dígitos e que o último termo possui cinco dígitos."

Achei essa questão bem interessante. Apesar de eu já ter dado uma solução para ela, adoraria ver técnicas originais para resolver o problema.

Pg( a1,a2,, .... , a10)

(a1,a2,...,a6) <- 4 dígitos
a10 <- 5 dígitos

seja a1 = xyzw
a1 = 10³x + 10²y + 10z + w
a2 = (10³x + 10²y + 10z + w)q, rstrição: q < 10
a3 = (10³x + 10²y + 10z + w)q² , q² < 10
a4 = (10³x + 10²y + 10z + w)q² , q³ < 10
.
.
.

a10 = (10³x + 10²y + 10z + w)q^9 , q^9 > 10 ( ja que possui 5 dígitos)

entao das condições de existência da Pg, temos:
q³ < 10 ( do a4) --> q^9 < 10³,
e q^9 > 10 ( do a10) , entao>
10< q^9 < 10³
10^(1/9) < q < 10^(1/3)
como se trata de dígitos, q pertence aos inteiros. Logo o único valor possível para q dentro dessa condição é 2.

Luck, não é verdade que a razão deve necessariamente ser inteira. Veja a PG abaixo, por exemplo:

2197, 338, 52, 8

Ela é composta de números naturais e tem razão 2/13. Isso é possível porque os três termos iniciais são divisíveis por 13.

Robson Jr. escreveu:Luck, não é verdade que a razão deve necessariamente ser inteira. Veja a PG abaixo, por exemplo:

2197, 338, 52, 8

Ela é composta de números naturais e tem razão 2/13. Isso é possível porque os três termos iniciais são divisíveis por 13.

É , eu tinha pensando nisso por causa dos primeiros termos terem 4 dígitos, mas vc tem razao podem ser racionais tb. Entao acho que nao sai por inspeção...O que vc fez pra achar ?

Luck, minha solução foi a seguinte:

Representação da PG: {a, aq, aq², ..., aq^9}, com todos os termos naturais.

Se a tem 4 dígitos, 10^3 ≤ a < 10^4.
Se a.q^5 tem 4 dígitos, 10^3 ≤ a.q^5 < 10^4.

Para o menor a possível (a = 10^3), se q = 2, a1.q^5 > 10^4.
Como a PG de números naturais é não estacionária, necessariamente 1 < q < 2.

Do supracitado, q é racional e não-inteira e logo pode ser escrita na forma q = m/n, sendo mdc(m,n) = 1. Como 1 < q < 2, temos n < m < 2n.

a.q^9 é natural. Para q = m/n, a.q^9 = a. (m^9)/(n^9), implicando que n^9 deve ser cancelado por a (até porque mdc(m,n) = 1).

Segue, pois, que a = n^9 . k, sendo k um natural.

Se a tem 4 dígitos, n^9 . k tem 4 dígitos. Para qualquer n > 2, n^9 tem mais de 4 dígitos. Logo n = 2.

Se n = 2, 2 < m < 4. Como m é natural, a única possibilidade é m = 3.

A razão é q = 3/2.


Adoraria ver um método alternativo para chegar a mesma resposta.