Triângulos - UDESC(2014)

UDESC - Univ. do Estado de Santa Catarina/2014
A prefeitura de uma cidade planeja construir um terminal rodoviário em um ponto estratégico da cidade. Para isso será necessário construir duas novas estradas, uma ligando o novo terminal ao aeroporto e outra à principal rodovia de acesso à cidade. Sabe-se que o aeroporto está localizado 8 km a oeste e 6 km ao sul do novo terminal, enquanto que em um trecho sem curvas da rodovia são conhecidos dois pontos de referência A e B. O ponto A dista 2 km a leste e 14 km ao norte do terminal a ser construído, enquanto o ponto B está localizado 8 km a leste e 4 km ao sul do mesmo terminal. Nessas condições, a quantidade mínima x em km de estradas a ser construída pertence ao intervalo:
 
a)         9,5 < x < 10,5
b)         16,5 < x < 17,5
c)         15,5 < x < 16,5
d)         30 < x < 31
e)         31< x < 32

Consegui esboçar a questão, depois fiz pitágoras em relação as posições A e B e a distância R , mas acho que não era esse o modo.

Sua questão não tem nada a ver com Trigonometria: ela é de Geometria Analítica.
Vou mudar, mas por favor, tome mais cuidado nas próximas postagens

T = terminal ---> T(0, 0)
P = aeroporto ---> P(-8, -6)
AB é um segmento retilíneo da estrada

PT² = (-8 - 0)² + (-6 - 0)² ---> PT = 10 km ---> I

Coeficiente angular da reta suporte de AB:

m = (yB - yA)/(xB - xA) = (-6 - 14)/(8 - 2) = -10/3

Equação da reta ---> y - 14 = (-10/3).(x - 2) ---> 10.x + 3.y - 62 = 0

Distância de T(0, 0) à reta AB:

d = |0.10 + 0.3 - 62|/√(10² + 3²) ---> d = 62/√109 ---> d ~= 5,94 km ---> II

x = PT + d ---> x ~= 10 + 5,94 ---> x ~= 15,94 km

Elcioschin, fiz por trigonometria e meus cálculos deram razoavelmente similares; ??? (15,7) < x < 16,66. Mas como utilizei aproximações e meus desenhos foram falhos, assumi que havia sido a resolução correta. No entanto, agora penso que cometi algum engano, havia encontrado y por um pressuposto ligeiramente incorreto, você poderia checar e verificar se o erro que me empacou foi conceitual ou prático, ou seja, errei na interpretação mesmo ou apenas um raciocínio? Acredito que o meu método tenha a vantagem de compreender o 'menor' e 'maior valor' possível em linhas retas. Desculpe pela demora, estou tentando sozinho já há duas horas, mas não encontro o y e nem entendo o erro.


E1 = 10.
E2 = 2+x ou 2+y
Por semelhança: x/14=6/18 --> x = 4,66
 
E1+E2 = ??? ou 16,66




i.imgur.com/0NZAaNk.png\\


Edit: já compreendi o meu erro.

Elcioschin escreveu:Sua questão não tem nada a ver com Trigonometria: ela é de Geometria Analítica.
Vou mudar, mas por favor, tome mais cuidado nas próximas postagens

T = terminal ---> T(0, 0)
P = aeroporto ---> P(-8, -6)
AB é um segmento retilíneo da estrada

PT² = (-8 - 0)² + (-6 - 0)² ---> PT = 10 km ---> I

Coeficiente angular da reta suporte de AB:

m = (yB - yA)/(xB - xA) = (-6 - 14)/(8 - 2) = -10/3

Equação da reta ---> y - 14 = (-10/3).(x - 2) ---> 10.x + 3.y - 62 = 0

Distância de T(0, 0) à reta AB:

d = |0.10 + 0.3 - 62|/√(10² + 3²) ---> d = 62/√109 ---> d ~= 5,94 km ---> II

x = PT + d ---> x ~= 10 + 5,94 ---> x ~= 15,94 km

Muito obrigada pela ajuda.
Eu coloquei o exercício nesse assunto pois ele está no capítulo de Trigonometria do meu material. Vou analisar melhor das próximas vezes.
Gostaria de saber se teria como chegar ao resultado correto calculando a distância do terminal ao ponto A e do terminal ao ponto B por meio do terorema de pitágoras. E após isso, usando relações trigonométrica para calcular a distância do terminal ao trecho AB.

TA² = 14² + 2² ---> TA² = 200 ---> TA = 10.√2
TB² = 8² + 4² ---> TB² = 80 ---> TB = 4.√5
AB² = (8 - 4)² + (- 4 - 18)² ---> TB² = 360 ---> TB = 6.√10

Lei dos cossenos em ABC:

TB² = TA² + AB² - 2.TA.AB.cosTÂB ---> calcule cosTÂB

Depois calcule senTÂB

Seja C o ponto de AB tal que TC é perpendicular a AB

TC = TA.senTÂB ---> Calcule TC (distância d do terminal à AB)

Obrigada pela ajuda. Vou tentar resolver desse modo