sistemas lineares

2x + 3y + 4z = 9
x - y + 2z = 2
x + 4y + 2z = 7

resolva por escalonamento



resposta: 3, -2t, 1, t

como chegar nessa resolução? ele criou outra equação? utilizou um parametro? o que ele fez?

Invertendo linha 1 com linha 2

1 ..... -1 ..... 2 ........ 2
2 ...... 3 ...... 4 ....... 9 ----> L2 - 2*L1
1 ...... 4 ...... 3 ....... 7 ----> L3 - L1

1 ..... -1 ..... 2 ........ 2
0....... 5 ...... 0 ....... 5
0...... 5 ...... 0 ....... 5

Equações 2 e 3 são igais -----> 5y = 5 -----> y = 1

Levando este valor y = 1 na 1ª equação ---> x - 1 + 2z = 2 ----> x + 2z = 3

Fazendo z = t -----> x + 2t = 3 ----> x = 3 - 2t

Resposta: 3 - 2t ; 1 ; t

Seu gabarito tem um erro: uma vírgula depois do 3

Se você reparar, a 1ª equação é igual a soma da 2ª com a 3ª...

Logo a 1ª é uma combinação linear da 2ª com a 3ª.

Logo o determinante principal do sistema (determinante da matriz dos coeficientes das variáveis) vai ser nulo.

O sistema não é determinado nem impossível. Tem infinitas soluções.

Suponha esse sistema:

x + y = 3

2x + y = 4

Por escalonamento, vamos tranformando linearmente a matriz aumentada do sistema ( a principal mais as colunas dos termos independentes).

O intuito é tranformar a matriz principal, através de operações nas linhas, numa matriz Identidade (diagonal principal com '1s' e o resto com zeros).

As 3 operações possíveis são:

1) Trocar linhas

2) Multiplicar toda a linha por um número diferente de zero

3) Somar 2 linhas

Vamos lá !

| 1 1 3 |
| 2 1 4 |

Troco a 1ª com a 2ª:

| 2 1 4 |
| 1 1 3 |


Subtraio a 2ª da 1ª (Multiplico a 2ª por -1 e a somo na 1ª):

| 1 0 1 |
| 1 1 3 |

Temos quase a matriz identidade. Falta sumir com o 1 ...

Subtraio a 1ª da 2ª

| 1 0 1 |
| 0 1 2 |

Prontinho !\/!

x = 1 e y = 2

Agora veja esse:

x + y = 1

2x + 2y = 2


Repare que a 2ª linha é o dobro da 1ª.

Temos um sistema possível e indeterminado, com infinitas soluções...

Vamos lá, por escalonamento !

| 1 1 1 |
| 2 2 2 |

Dividindo a 2ª linha por 2 ( multiplicando por 1/2)

| 1 1 1 |
| 1 1 1 |

Subtraindo ( somando com os simétricos)

| 1 1 1 |
| 0 0 0 |

O que nos leva a:

x + y = 1

Ou, escrevendo de outro modo, parametrizando em t :

x = t

y = 1 - t

Com essa forma de apresentar a solução podemos ir variando o "t" e obtendo os pares (x; y) que são as soluções do sistema.

Nem sempre precisamos chegar à matriz identidade.

Podemos simplificar um pouco o sistema, descobrindo algumas das incógnitas nas linhas que tiverem só um "1" e o restante zeros.

Ou mesmo um único "zero", pois diminuiremos uma variável.

Aí então, usar técnicas de eliminação e substituição de variáveis.

Com isso, podemos reduzir o nº de variáveis e, chegando a 3 variáveis, resolver por Cramer e Sarrus.

Apesar de haver muitas técnicas para facilitar e macetear o escalonamento, tem dias que não "enxergamos" o que tem que ser feito. Não se preocupe, é normal.

É mais uma ferramenta para "quebrar galhos". Se conseguirmos reduzir o nº de variáveis com ela, já está muito bom !