(AFA - 1997) Geometria Analítica

por ALDRIN Qui 29 Out 2009, 21:23

O valor numérico do raio da circunferência que intersecciona a parábola $(AFA - 1997) Geometria Analítica 495816eee2d908620955339cba320ed1$ no eixo das abscissas, e tem seu centro no foco da mesma é?

a) 1.
b) 1/2.
c) 3/2.
d) 5/2.

por **Medeiros** Ter 03 Nov 2009, 19:07

x² - 2x – 4y – 1 = 0
4y = x² - 2x – 1
y = x²/4 – x/2 – 1/4

raízes:
y=0 -----> x₁ = 1-√2 ......... x₂ = 1+√2

vértice:
x_V = -b/2a = -(-1/2)/(2*1/4) = 1
y_V = f(1) = 1/4 – 1/2 – 1/4 = -1/2
V = (1, -1/2)

concavidade: para cima (coef. de x² é positivo)

eixo de simetria: reta x=1, paralelo ao eixo das ordenadas.

O foco desta parábola está sobre a reta x=1 e acima do vértice. Seja F=(x_F,y_F).
dist.(V,F) = p/2

Teoria
A equação canônica da parábola da forma y=ax²+bx+c é y = a(x-x_V)² + y_V.

de onde, (x - x_V)² = (1/a)*(y - y_V)

e para 1/a = 2p ----> (x-x_V) = 2p(y-y_V) .............. [1]

Colocando a eq. da nossa parábola na forma canônica temos ----> (x–1)² = 4(y+1/2)

de onde, comparando com a eq. [1], vemos que
2p = 4 ----> p = 2 -----> p/2 = 1

portanto, y_F = y_V + p/2 = -1/2 + 1 = +1/2
e x_F = x_V = 1
F=(1, 1/2)

O raio R procurado é a distância de F a x₂ (ou x₁).

R² = (x₂ - x_F)² + (y₂ - y_F)² = (1+√2-1)² + (0-1/2)²

R² = 2 + 1/4 = 9/4 -----> R = √(9/4) ------> R = 3/2 ......... alternativa C

Só uma pergunta: o que é AFA?