Dilatação

por murilonves Seg 21 maio 2012, 13:23

Uma esfera sólida de alumínio rotaciona livremente em torno de um eixo que passa pelo seu centro. De quanto deve aumentar sua temperatura para que sua velocidade angular diminua em 2,0%? (Considere o coeficiente de dilatação linear médio do alumínio como 2,4 x 10^{-5} °C^{-1}).

a) 50 °C

b) 100 °C

c) 300 °C

d) 400 °C

por **Al.Henrique** Seg 21 maio 2012, 14:37

Velocidade normal (w):
V = w R
V/R = w

Velocidade após dilatação (w')
w'= 0,98w

V/R' = 0,98.V/R
1/R' = 0,98/R

R' = R/0,98
Ou seja, o raio final deverá ser R/0,98 do raio inicial , na equação temos:

∆l =li.α.∆θ

Desmembrando a formula ja que ∆l = lf - li

lf = li(1 +α.∆θ)

Substituindo o Raio final ,raio inicial na equação :
R/0,98 = R( 1 + 2,4.10^(-5).∆θ)

1 = 0,98.(1 + 2,4.10^(-5).∆θ)
1 = 0,98 + 2,352.10^(-5).∆θ

0,02 /2,352.10^(-5) = ∆θ

Sem resposta.

Alguém sabe onde estou errando ? :drunken:

por **Elcioschin** Seg 21 maio 2012, 15:07

Al.Henrique

O que está contecendo é uma dilatação volumétrica (γ = 3α)

Tente, portanto vazer: Vf = Vi*(1 + γ.∆θ) ----> V = (4/3)*pi*R³

por **Al.Henrique** Seg 21 maio 2012, 15:27

Elcioschin escreveu:Al.Henrique

O que está contecendo é uma dilatação volumétrica (γ = 3α)

Tente, portanto vazer: Vf = Vi*(1 + γ.∆θ) ----> V = (4/3)*pi*R³

Vamos lá então :
Se:
R' = R/0,98

γ = 3α
α = 2,4.10^(-5)

γ = 7,2.10^(-5)

Fazemos então, a dilatação volumétrica:

∆V = Vi.γ.∆θ
Vf = Vi(1 +γ.∆θ)

(4/3)∏R'³ = (4/3) ∏R³(1 + 7,2.10^(-5)∆θ)
R'³ = R³(1 + 7,2.10^(-5)∆θ)
(R/0,98)³ = R³ (1 + 7,2.10^(-5)∆θ)
1 = (0,98)³. (1 + 7,2.10^(-5)∆θ)
1 = 0,941192 + 6,7765824.10^(-5)∆θ
0,058808 = 6,7765824.10^(-5)∆θ

Sem resposta
Deu igual ao resultado quando considerei a variação linear, apenas do raio.

por **Euclides** Seg 21 maio 2012, 16:27

Com o aumento do raio da esfera, a velocidade angular diminui em razão da conservação do momento angular.

$\\L=I\omega\;\;\to\;\;\omega=\frac{L}{I}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\omega'=\frac{L}{I'}\\\\\frac{\omega'}{\omega}=\frac{I}{I'}\;\;\;\to\;\;\frac{98}{100}=\frac{R^2}{R^2'}\;\;\to\;\;\frac{R^2'}{R^2}=\frac{100}{98}\;\;\;(1)\\\\R'=R(1+\alpha\Delta t)\\\\\frac{R'}{R}=1+\alpha\Delta t\;\;\;\to\;\;\;\sqrt{\frac{100}{98}}=1+2,4.10^{-5}\times \Delta t\\\\\Delta t=423^o$

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