(Fuvest-SP) Função Quadrática

Para cada número real m, considere a função quadrática f (x) = x2 + mx + 2

Nessas condições:

a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y = f(x).
b) Determine os valores de m ∈ |R para os quais a imagem de f contém o conjunto {y∈ |R : y ≥ 1}.
c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto {y∈ |R : y ≥ 1} e, além disso, f é crescente no conjunto i{y∈ |R : y ≥ 0}.
d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m (do item c) e para cada y ≥ 2, o único valor de x ≥ 0 tal que f (x) = y.

Respostas:



Pessoal, na letra b:

Eu concordo com a resolução, mas de outra forma e deu diferente, vejam:

Fiz f(x) ≥ 1--> (x^2)+mx+1≥0 e descobri o discriminante. Este é (m^2)-4 e deve ser ≤0 para que a primeira proposição seja verdadeira. Para isso, -2≤m≤2

Acho que houve uma confusão na resolução da imagem.

O yv tem que ser maior ou igual a 1, diferente de como foi escrito.

Alguém poderia postar a resolução desse exercício?

f(x) = x² + m.x + 2

a) xV = - m/2.1 ---> xV = - m/2 ---> yV = (- m/2)² + m.(- m/2) + 2 ---> yV = 2 - m²/4 ---> V(-m/2, 2-m²/4)

b) y ≥ 1 ---> 2 - m²/4 ≥ 1 ---> m²/4 ≤ 1 ---> m² ≤ 4 ---> - 2 ≤ m ≤ 2

Olá, colegas. Com as letras (c) e (d)

Muito obrigado pela resolução, Élcio e Nina.

Gostaria, contudo, de fazer uma ressalva:

O colega postou errado a letra c) dessa questão, deveria ser:

c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto {y∈ |R : y ≥ 1} e, além disso, f é crescente no conjunto {x∈ |R : x ≥ 0}


O resto está tudo certo.


Além disso, Nina, não entendi essas passagens:


x≥0 , x_v≤0
-m/2≤0  ∴ m=2

Não deveria ser m≥0 ?

Como todos endereços com a resolução desta questão trazem como resposta o gabarito no qual o autor desse tópico ficou com dúvida (e eu também), eu não possuo o gabarito "confiável" dessa questão.

A função é crescente quando x ≥ 0, logo, xv ≤ 0
Sim, m ≥ 0
Mas, veja que temos os seguintes intervalos, m ≥ 0, m= 2 ou m = -2
m = 2, achamos o seu f(x) e se torna fácil de isolar o x.

Nina, consegui entender essa ideia de que, se essa função é positiva para todo x≥0, o x_v≤0 (a mesma ideia para o Y_v).

Contudo eu não entendi porque foi achado uma resposta ÚNICA e não uma em forma de intervalo. Se você puder sanar minha dúvida ficarei grato o/

Gabriel Cluchite escreveu:Nina, consegui entender essa ideia de que, se essa função é positiva para todo x≥0, o x_v≤0 (a mesma ideia para o Y_v).

Contudo eu não entendi porque foi achado uma resposta ÚNICA e não uma em forma de intervalo. Se você puder sanar minha dúvida ficarei grato o/

Tudo de novo. Se você não entendeu a parte do intervalo, é porque não conseguiu visualizar direito a função e nem entendeu o seu gráfico :





Há quatro valores para m e dois possíveis gráficos.
E porque usamos apenas m quando ele vale 2?. Ora, porque a função é crescente quando x pertence aos reais e é maior ou igual a 0. Apenas consideramos o caso inicial.

Ah sim, entendi Nina. Muito obrigado!!