(FUVEST) inequações com função quadrática

Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x^2 + mx + 2.

Nessas condições:

a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y = f(x).

b) Determine os valores de m E R para os quais a imagem de f contém o conjunto { y E R : y >= 1 )

c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto { y E R : y >= 1 } e, além disso, f é crescente no conjunto { x E R : x >= 0 }.

d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c) e para cada y >= 2, o único valor de x>= 0 tal que f(x) = y.

Obs.: >= é um sinal para maior ou igual

Gabarito:

a) ( -m/2, (8-m^2)/4 )
b) m =< -2 ou m >= 2
c) m = 2
d) x = sqrt(y - 1 ) - 1

sqrt = raíz quadrada

a)
(x²+mx+m²/4) - m²/4 + 2
(x+m/2)² - m²/4 + 2
(-m/2, -m²/4 + 2), ou, como no seu gabarito, (-m/2, 8-m²/4) (dei uma olhada em uns gabaritos para conferir, e o objetivo utilizou 8-m²/4 e o anglo -m²/4 + 2, então acho que está ok).

b) Se 8-m²/4 é o ponto mínimo dessa função, a Im dela é y ≥ 8-m²/4, certo? Então para que a Im contenha y ≥ 1, 8-m²/4 deve ser menor ou igual a 1, ou seja, 8-m²/4 ≤ 1.
Daí, m ≤ - 2 ou m ≥ 2

c) Diferente da questão b, agora a Im deve ser igual a y ≥ 1, então o mínimo, 8-m²/4, deve ser igual a 1.
De 8-m²/4 = 1, m = - 2 ou m = 2.
Se você esboçar x² + 2x + 2 e x² - 2x + 2, vai ver que a função será crescente em x ≥ 0 no gráfico de x² + 2x + 2, então m = 2.

d) m = 2, ou seja, x² + 2x + 2
De f(x) = y
x² + 2x + 2 = y
(x² + 2x + 1) - 1 + 2 = y
(x+1)² + 1 = y
x + 1 = ±raiz y - 1
x = - 1 ±raiz y - 1
Como x ≥ 0, então x = -1 + raiz y - 1

Alguém poderia explicar melhor a letra d? Na parte do y >=2, onde que essa condição entrou no cálculo ?  :scratch:

AlessandroMDO escreveu:Alguém poderia explicar melhor a letra d? Na parte do y >=2, onde que essa condição entrou no cálculo ?  :scratch:

Boa hahahaha
Acredito que essa info não influenciou em nada. Se x do f(x)=y fosse igual a zero, então y = 2, sendo assim, entraria na resposta. Como 2 é o coeficiente linear qualquer outro x não é válido, pois seria menor que zero.

Enfim...se alguém souber, por favor!

Alguém pode me mostrar um modo algébrico ou uma análise gráfica para, na letra D dessa questão, escolher-se[latex]x = -1 +\sqrt{y - 1}[/latex], e não [latex]x = -1 -\sqrt{y - 1}[/latex]?

Giovana Martins escreveu:

O enunciado do item D condiciona y >= 2 e x >= 0.

Como y >= 2, x = - 1 - √(y - 1) será negativo para qualquer y >= 2. Entretanto, x deve ser maior ou igual a zero, isto é, não pode ser negativo.

É por este motivo que é válida somente a solução x = - 1 + √(y - 1) e é o outro fator que justifica y >= 2, pois para y = 2, x = 0, o que está dentro do que pede o enunciado. Por sua vez, para y > 2, x > 0. Portanto, para y >= 2, x = - 1 + √(y - 1) é maior ou igual a zero para todo y.

Muito obrigado pela dedicação, Giovana!

Alguém poderia explicar por que no item c) se iguala o (8-m^2)/4 a 1?


(edit) Agora que pensei mais um pouco mais. Isso ocorre porque o menor valor do conjunto é 1, logo o vertíce tem que ser igual a este número?

Corrigindo: "a ordenada do vértice tem que ser maior ou igual a 1"