Raízes - 2º grau (equação)

por nayson Qua 28 Mar 2012, 09:34

Para que valores reais de m a equação 4^x - (m-2).2^x + 2m+1=0 admite pelo menos uma raiz real?

Spoiler:

por **Adam Zunoeta** Qua 28 Mar 2012, 10:55

y=2^x

y²-y*(m-2)+2m+1=0

Impondo delta >=0

m>=12

"admite pelo menos uma raiz real"

y1*y2=c/a

y1*y2<0 ----> 2m+1<0

m<-1/2

por nayson Qua 28 Mar 2012, 12:55

Não entendi a parte do c/a<0 =/

por **Adam Zunoeta** Qua 28 Mar 2012, 13:06

Imagina assim:

É uma equação do segundo grau em y.

Raízes:

y1 e y2

Onde y=2^x

Ele pede:

"admite pelo menos uma raiz real"

Podemos ter as seguintes possibilidades:

1)

y1=y2 ---> Raiz de multiplicidade 2 ---> Deve ser positivo caso contrário não obteremos o valor de x.

Nesse caso, teremos uma raiz (para y1=y2 não negativos)

2)

Agora para y1 # y2

y1 ----> É negativo ---> Essa raiz não convém

y2 ----> Positivo ----> Convém

Teremos uma única raiz real (em x)

O outro "m" (m<-1/2) entra na condição 2.

"admite pelo menos uma raiz real"

por nayson Qua 28 Mar 2012, 14:00

minha duvida foi essa tb, obrigado, mas...
se impormos D>=0, isso apenas não garante que as duas raízes sejam positivas não acha, poderíamos ter D>=0 com duas raízes negativas.

por **Adam Zunoeta** Qua 28 Mar 2012, 14:11

y²-y*(m-2)+2m+1=0

Delta >=0

y1=y2

ou y1#y2

Quanto ao caso de termos duas raízes negativas...

Por isso o produto deve ser negativo.

Vejamos:

y1*y2 ---> positivo se:

y1 e y2 tiverem o mesmo sinal

y1*y2 ---> Negativo se:

y1 e y2 ---> Tiverem sinais opostos ----> Por isso y1*y2 <0

por **Adam Zunoeta** Qua 28 Mar 2012, 14:17

Resumindo:

y1*y2 não pode ser maior que zero, porque:

Existe o caso, de ambas as raízes serem negativas. (Como você tinha dito)

y1*y2 < 0

Dessa forma pelo menos uma raiz é positiva