Questão sobre relação entre ângulos

Fala galera, queria pedir um socorro aqui. Travei nessa questão do livro Geometria I do Morgado, e não consigo fazer nem com reza.



Já marquei todos os ângulos, sei a relação de cada um com os ângulos A e C. Mas não consigo concluir a resposta, toda equação que tento acaba redundante. Se alguém souber, por favor dê uma mão.

Agradeço desde já. Abraços.

Olha.. pelas minhas contas deu que
C=45º-β
Letra E
^^
um seg jah to passando a resolução aqui!!!
;D

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Primeiramente, vamos dar nomes aos bois:

Como pode-se ver, de acordo com o desenho, podemos chegar em duas equações:
I) 45+(90-m)+ω+β=180 (Soma dos ângulos internos do triângulo AED)
II)90+[180-(90-m)-ω+c=180 (Soma dos ângulos internos do triângulo DEC)

Desenvolvendo a equação (II)
180+m-ω+c=180, portanto, m+c=ω

Substituindo m+c=ω na equação (I)
45+90-m+(m+c)+β=180
c=45-β
Assim entao, eu iria na letra E.
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Agora resta saber se tá certo!! hehehe ^^

caca

Ele perguntou o valor do ângulo alfa

Nas suas equações, embora corretas, nem aparece o ângulo alfa

Logo, sua equação final c = 2*beta não respone à questão.

puutzz.. eu nem tchumm.. eh vdd.. eh alpha q tá pedindo.. e eu achei o C
=S
nossa.. viajei legal..
pera aí.. vou tentar refazerr =S
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estou tentando.. mas estou sempre ficando com equações redundantes tb! =/

Eu pensei de um jeito rápido aqui...

Supondo que o exercício se refere a qualquer triângulo retângulo, pois não apresenta as medidas dos lados e nem dos ângulos. Então pensei: E se eu me basear em um triângulo retângulo isósceles?

Sabemos que a bissetriz de  é 45º, e se tratando de um triângulo isósceles: DE sobrepõe AD, assim BE sobrepõe AB. Assim, o ângulo α é igual ao ângulo ABC, ou seja, 45º.

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Vou tentar fazer de um modo que era para resolver, agora

Werill

O que vc quer dizer com "DE sobrepõe AD, assim BE sobrepõe AB."

Se vc quer dizer que os triângulos ADE e e ABE são semelhantes, não é verdade: O triângulo ADE é retângulo e o ABE não é.

alfa não vale 45º porque alfa é parte de A^BC = 45º

Eu imaginei que se o triângulo ABC for isósceles, os triângulos ABD e BDE serão os mesmos e reto em D. Como o triângulo é isósceles, o ângulo B do triângulo ABD mede 45º e este ângulo é o mesmo que α.

Fala galera! Primeiramente, agradeço pela atenção e resposta de todos.

Depois de encarar esse exercício por algumas horas, cheguei a uma *possível* resposta. O problema é que tal resposta se baseia muito em suposições, então provavelmente não é o melhor jeito de se resolver.

Assim como o caca-filho, cheguei a c = 45 - b
Também sei que a soma dos ângulos a + m + c + 90 = 180, como visto no triângulo ABC, então, a + m + c = 90 (estou utilizando a mesma nomenclatura que ele para os ângulos)

Como, anteriormente, vi que c = 45 - b, e como b > 0, tenho que c < 45.

a + m + c = 90
Como c < 45, por consequência (a + m) > 45.

Agora, chamemos o ponto no qual BE concorre com AD de ponto O. As duas retas não são perpendiculares, e a figura mostra claramente o ângulo AÔB como obtuso, portanto, AOB > 90 (aqui está a outra suposição, e a que provavelmente não poderia ser tomada). Chamemos o ângulo AÔB de ângulo x.

Temos, então, no triângulo AOB, que 45 + m + x = 180. Portanto, m + x = 135.
x > 90, logo, m < 45.

É aqui que vem a pior parte. Que todos vocês vão olhar e dizer "daonde esse cara tirou isso?"

Temos então:
a+m+c = 90
0 < c < 45 (c é maior que zero por ser o único ângulo de seu vértice.)
m < 45 (como m divide o vértice com a, ele não é necessariamente maior que zero)
e que (a+m) > 45

Agora tomemos m como nulo para concluir, por que a gente pode, já que ele não é necessariamente maior que 0.

c < 45, logo, a > 45.

Temos então, as seguintes propriedades provadas e observadas no triângulo ABC e seus triângulos inscritos:

0 < c < 45 ----> provada
a + m > 45 ---- > provada
x > 90 ----> Observada, mas não provada. Nesse livro toda vez que alguma reta é perpendicular ou paralela a outra em qualquer problema ele tende a dizer. Não acredito que as retas BE e AD seriam perpendiculares, já que o problema não diz. Tenho a forte convicção que podemos tomar x > 90 como verdadeiro.
b < 45 ----> consequência de x ser maior que 90.

Então, apesar de não restringir totalmente o triângulo, podemos afirmar com certeza que o triângulo ABC e seus inscritos são verdadeiros para a propriedade a > 45. Acredito que possam haver triângulos que satisfaçam às propriedades provadas/observadas onde a < 45, mas não todos. por ex, se tomássemos a como zero (o que poderíamos, já que ele divide vértice com m), tendo concluído que tanto m como c são menores que 45, a soma dos dois não seria igual a 90, e o triângulo seria inexistente. Então para todo 90 > a > 45, O triângulo existe.

Se alguém puder dar uma conferida, e apontar alguma falha, ou se concordar, por favor digam.

Novamente, agradeço a todos pela atenção e compreensão. Abraços!

Ah, acabei de ver num PDF com o gabarito desse livro, que a resposta correta é D.
O pobrema agora é provar que a > 45.

cara.. sua lógica de pensamento bate com o resultado.. eu to matutando nesse exercicio desde o dia q vc passou ele.. e nao consigo provar sem dúvidas nada... hahahaha
que triste cara... =S