GEOMETRIA

por badaw Seg 16 Jan 2012, 19:10

Num circulo de 2 cm de raio traçam-se dois diametros perpendiculares ,AA' E BB' .Sobre o arco AB marca-se o ponto P de modo que PB=PQ ,sendo PQ perpendicular a AA' e Q situado em AA' . PB vale , em cm ?

por rihan Seg 16 Jan 2012, 23:40

GEOMETRIA F5lgqYiJI2nDhmsa4srLCu1zEBJC0BCEZJC1BSAZJSxCSQdIShGSQtAQhGSQtQUgGSUsQkkHSEoRkkLQEIRkkLUFIBklLEJJB0hKEZJC0BCEZJC1BSAZJSxCSQdIShGSQtAQhGf8PVCPTWAM9KNEAAAAASUVORK5CYII=

OP = OB = 2

PÔB = x

PÔQ = y

x + y = 90°

y = 90° -x

1) Lei dos Cossenos, triângulo POB:

PB² = r² + r² - 2r.r.cos(x)

PB² = 2r² -2r².cos(x)

PB² = 2r²( 1-cos(x) )

2) Triângulo POQ:

PQ = r.sen(y)

PQ² = r².sen²(y)

3)PQ² = PB² --> (1) = (2)

2r²( 1-cos(x) ) = r².sen²(y)

2(1-cos(x) ) = sen²(y)

2 - 2cos(x) = sen²(90°-x)

2 - 2cos(x) = cos²(x)

cos²(x) + 2cos(x) - 2 = 0

w² + 2w - 2 = 0

w = (-2 ± √( 4 + 8 )/2

w = (-2 ± 2√(3))2

w = -1 ± √(3)

cos(x) = √(3) -1 (cosseno positivo pois 0° < x < 90° )

PQ = r.sen(y) = r.sen(90-x) = r.cos(x) = 2(√(3) -1)

PQ = 2(√(3) -1)

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