Imagem da função

por vitorCE Qui Dez 29 2011, 09:16

(UFPE) A função f:R-> R definida por f(x) = sqrt(x²+9) tem como conjunto imagem:

resposta : {y E R | y>=3}

no meu cálculo ficou assim

(x²+9)>=0
x²>=-9
x>=sqrt(-9)

Só que a condição é a dos reais por isso não entendi, alguem pode me explicar.

por **Elcioschin** Qui Dez 29 2011, 09:28

Dê valores para x e obtenha os valores correspondentes de y, por exemplo:

x = 0 ----> y = 3

x = +\/7 ----> y = 4

x = - \/7 ----> y = 4

x = + 4 -----> y = 5

x = - 4 -----> y = 5

Note agora que sua curva é uma parábola com vértice V(0,3) e concavidade para cima.

Esta função então só existe para y = >= 3

por vitorCE Qui Dez 29 2011, 09:37

mas mestre não teria como resolver de outra forma sem atribuir valores ?

por **Elcioschin** Qui Dez 29 2011, 13:36

Tem sim. Basta fazer uma análise:

1) A função "raiz quadrada" é sempre positiva, por definição: \/2 = |2| = 2

2) O valor mínimo da função ocorre para x = 0 ----> y = 3

3) A função do radicando y' = x² + 9 é uma parábola com a concavidade voltada para cima.

Logo, a imagem é y >= 3

por **Christian M. Martins** Ter Mar 01 2016, 01:30

Não se deve considerar -2 como uma raiz, Élcio?

por **Christian M. Martins** Qua Mar 02 2016, 01:20

por **Elcioschin** Sex Mar 04 2016, 07:56

Christian

f(x) = √(x² + 9)

A função do radicando é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Ela tem raízes imaginárias x = -3i e x = 3i. Logo NÃO tem raízes reais e é sempre positiva, ficando acima do eixo x

O seu vértice é V(0, 3), assim o seu valor mínimo é 3 ---> Imagem: Reais, x >= 3

O termo x² + 9 é sempre positivo, logo x pode ser negativo, nulo ou positivo

por inguz Ter Ago 03 2021, 20:35

Oie mestre @Elcioschin!!! O sr poderia me explicar um pouco mais sobre essa questão ??? Eu só não entendi muito bem na parte de calcular o vértice da parábola, sei q pra função do 2⁰ grau a gente calcula: V(Xv, Yv) : Xv= -b/2a é Yv= -(b²-4.a.c)/4a. E obtive (0,9) para o valor mínimo já que temos uma a>0... não tô conseguindo entender, desculpa o incomodo!

por **Elcioschin** Qua Ago 04 2021, 17:14

f(x) = √(x² + 9)

Parábola (no radicando) ---> y' = x² + 9 --->

xV = - b/2.a = - 0/2.1 ---> xV = 0

y'V = 0² + 9 ---> y'V = 9 ---> vértice da parábola: (0, 9)

O que o enunciado quer é a imagem de f(x) --->

f(x)mín = √(y'V) = √9 ---> f(x)mín = 3