imagem da funcao

A imagem da funcao g(x)= (√x-2) + (√6-x) é o intervalo:
a)[2; 2√2]
b) [√2;2]
c) [2√2; 4]
d) √2; 2√2]
e) [2;4]

Você conhece derivadas? Acho que a única maneira de achar a imagem é através de derivação.

Pensei em uma maneira de fazer sem usar derivadas:


O menor X que essa função pode assumir é 2, então:

g(2) = √0 + √(6-2)
g(2) = 2




O maior X que essa função pode assumir é 6, então:


g(6) = √(6 - 2) + √(6-6)
g(6) = 2




Como g(2) = 2 e g(6) = 2, temos uma parábola, cujas extremidades em x são 2 e 6.




Para achar o valor máximo da funçao, ou seja, o valor máximo de y, eu acho o valor intermediário dessa parábola, (2+6)/2 = 4, então:


g(4) = √(4-2) + √(6-4)
g(4) = 2√2


Como o menor valor que y pode assumir é 2 e o maior é 2√2:


Im = [2, 2√2]

Alternativa A



Não sei se deu pra entender

Oii, just. Eu entendi o que você fez, mas eu tive algumas dúvidas.

"Como g(2) = 2 e g(6) = 2, temos uma parábola, cujas extremidades em x são 2 e 6."

Como, a partir da conclusão acima, podemos concluir que a curva gerada por g(x) é uma parábola?

- Acho que não podemos afirmar que a curva gerada por g(x), embora pareça uma parábola, seja uma parábola. Se de fato for uma parábola, valem, por exemplo, as relações x=-b/2a e y=-∆/4a, as quais não parecem ser viáveis neste caso.

- Enfim, eu não sei se essa resolução está totalmente correta, visto que eu não sei como eu posso afirmar que curva de fato é simétrica no intervalo no qual ela está definida.

Outro modo, mostrando de onde surgiu a parábola:

g(x) = √(x - 2) + √(6 - x) ---> Restrições: 2 ≤ x ≤ 6

[g(x)]² = (x - 2) + (6 - x) + 2.√[(x - 2).(6 - x)]

[g(x)]² = 4 + 2.√[(x - 2).(6 - x)]

A função do radicando é uma parábola com a concavidade voltada para baixo e raízes x = 2 e x = 6. Seu valor máximo ocorre no vértice x = 4

Para x = 2 ---> [g(x)]² = 4 ---> g(x) = 2

Para x = 4 ---> [g(x)]² = 4 + 2.√[(4 - 2).(6 - 4)] ---> [g(x)]² = 8 ---> g(x) = 2.√2

Im = [2, 2.√2]

Giovana Martins escreveu:Oii, just. Eu entendi o que você fez, mas eu tive algumas dúvidas.

"Como g(2) = 2 e g(6) = 2, temos uma parábola, cujas extremidades em x são 2 e 6."

Como, a partir da conclusão acima, podemos concluir que a curva gerada por g(x) é uma parábola?

- Acho que não podemos afirmar que a curva gerada por g(x), embora pareça uma parábola, seja uma parábola. Se de fato for uma parábola, valem, por exemplo, as relações x=-b/2a e y=-∆/4a, as quais não parecem ser viáveis neste caso.

- Enfim, eu não sei se essa resolução está totalmente correta, visto que eu não sei como eu posso afirmar que curva de fato é simétrica no intervalo no qual ela está definida.

Oi Gii!

Realmente a partir do que eu falei não é possível saber se é uma parábola ou não, eu vou fazendo as contas e digitando, na minha cabeça eu tinha provado que era uma parábola 


Para provar que é uma parábola eu elevei o y ao quadrado e obtive: 4 + 2√(x-2)*(6-x), esse tipo de função gera uma parábola, como foi melhor explicado pelo Elcioschin.


Obrigado por avisar !!

Gente, muito obrigada pela atencao! 
Vcs me ajudaram bastante