Área da figura

(Unicamp-SP) Seis círculos, todos de raio 1 cm, são dispostos no plano conforme mostram as figuras abaixo:



a) Calcule a área do triângulo ABC.
b) Calcule a área do paralelogramo MNPQ e compare-a com a área do triângulo ABC.

Gabarito: item a - (7√3 + 12) cm²; item b- (20√3/3 + 36/3) cm² e At> Ap.

Considere os círculos que tangenciam a reta BC (por exemplo)
Sejam, de cima para baixo D. E. F os pontos de tangência
Trace os raios paralelos ao lado BC e os raios perpendiculares a BC.
A soma destes raios paralelos vale 4r, logo DF = 4r ---> DF = 4

Ângulo B = 60º
Una B ao centro do círculo mais próximo, de centro O. OBF = 30º, BÔF = 60º OF = r = 1
tgBÔF = BF/r ----> tg60º = BF/1 ----> BF = \/3 ----> CD = \/3

Lado BC = BF + DF + CF ----> BC = \/3 + 4 + \/3 ----> BC = 4 + 2*\/3

BC² = (4 + 2*\/3)² ----> BC² = 16 + 16*\/3 + 12 ----> BC² = 28 + 16*\/3

Área ---> S = BC²*\/4/4 ----> S = (28 + 16*\/3)*\/3/4 ----> S = 7*\/3 + 12


Faça você o outro de modo similar, calculando os ângulos

Obrigado, Elcioschin. Se eu conseguir acertar o item b, eu posto a resposta.

Eu não consegui resolver o item b por duas coisas: eu não sei como achar a altura do paralelogramo e não estou conseguindo achar o comprimento da base porque está faltando a medida do segmento BP. Daria até para achar o comprimento de BP utilizando seno, cosseno ou tangente, mas o problema é que não sei os valores dos ângulos BCP e BPC. Observem:



QP = AC + BP
QP = 6 + BP
Se alguém conseguir resolver, desde já agradeço.