Funções Trigonométricas

por **Giovana Martins** Sáb 14 Set 2024, 16:15

Deixo a questão para quem quiser tentar.

Dados a ∈ ℤ⁺ e b ∈ ℤ⁺, mostre que:

\[ \mathrm{ -\sqrt{\frac{a^{a}b^{b}}{(a+b)^{a+b}}} \leq sin^{a}(x)cos^{b}(x)\leq \sqrt{\frac{a^{a}b^{b}}{(a+b)^{a+b}}} }\]

por **Giovana Martins** Sáb 14 Set 2024, 19:21

\[\mathrm{f(x)=sin^{a}(x)cos^{b}(x)\to ln[f(x)]=aln[sin(x)]+blnsin[(x)]}\]

\[\mathrm{\frac{d}{dx} \left\{ ln[f(x)]\right\}=\frac{d}{dx} \left\{aln[sin(x)]+blnsin[(x)]\right\}\to \frac{1}{f(x)}\frac{df(x)}{dx}=\frac{a}{tan(x)}-btan(x)}\]

\[\mathrm{\therefore\ \frac{df(x)}{dx}=sin^{a}(x)cos^{b}(x)\left\{\frac{a}{tan(x)}-btan(x) \right\}}\]

\[\mathrm{\frac{df(x)}{dx}=0\ \therefore\ [sin(x),cos(x),tan(x)]=\left(0,0,\pm\sqrt{\frac{a}{b}}\right)}\]

\[\mathrm{Sendo\ sin^{2}(x)+cos^2{x}=1\ e\ tan(x)=\pm \sqrt{\frac{a}{b}}\ \therefore\ [sin(x),cos(x)]=\left[\pm \sqrt{\frac{a}{a+b}},\pm\sqrt{\frac{b}{a+b}}\right]}\]

\[\mathrm{\therefore\ f(x)=\left(\sqrt{\frac{a}{a+b}}\right)^{a}\left(-\sqrt{\frac{b}{a+b}}\right)^{b}}\]

Tomando b ímpar:

\[\mathrm{\therefore\ f_{min}=-\sqrt{\frac{a^{a}b^{b}}{(a+b)^{a+b}}}\ e\ f_{max}=\sqrt{\frac{a^{a}b^{b}}{(a+b)^{a+b}}}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{-\sqrt{\frac{a^{a}b^{b}}{(a+b)^{a+b}}}\leq sin^{a}(x)cos^{b}(x)\leq \sqrt{\frac{a^{a}b^{b}}{(a+b)^{a+b}}}}}}\]

Acredito que seja isto.

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