Descobrir o polinômio

por phBorges_32 2/8/2024, 10:15 pm

O polinômio P(x) de quinto grau e de coeficientes reais admite 0, -1 e i como raízes, sendo 0 raiz dupla. Determine P(x), sabendo que P(2) = 120.

por **Giovana Martins** 2/8/2024, 10:30 pm

Pelo Teorema das Raízes Complexas Conjugadas, se i é raiz de P(x), logo, -i também o é.

Assim, as 5 raízes de P(x) são {±i, -1, 0}, considerando o fato de 0 apresentar multiplicidade 2.

Pela forma fatorada de um polinômio, tem-se que o polinômio de grau 5 pode ser escrito da seguinte forma:

P(x) = a(x - x₁)(x - x₂)(x - x₃)(x - x₄)(x - x₅)

Sendo P(2) = 120:

120 = a(2 + i)(2 - i)(2 + 1)(2 - 0)² → a = 2

Deste modo: P(x) = 2(x + i)(x - i)(x + 1)(x - 0)², que podemos escrevê-lo como:

P(x) = 2x⁵ + 2x⁴ + 2x³ + 2x².

Segue uma ilustração gráfica:

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