Triângulo

Os vértices de um triângulo são: A(2, 1, 3), B(4, -1, 2) e C(6, 2, 5). As coordenadas do pé da altura relativa vértice A são:
a) (5, 1, 3)
b) (26/5, 6/5, 21/5)
c) (45/11, 1/11, 34/11)
d) (5, 1/2, 7/2)
e) (49/11, -7/22, 59/22) (x)

Olá,

Farei usando produto escalar (produto interno), mas existem outras maneiras de se resolver. Vou usar o símbolo • para representar o produto escalar. Daí temos:

A•A = 14
A•B = 13
A•C = 29
B•B = 21
B•C = 32
C•C = 65

Seja H o pé da altura. H é um ponto contido na reta por B e C, logo existe t tal que H = tB + (1-t)C. Sendo assim, temos:
H•B = tB•B + (1-t)B•C= 21t + 32(1-t) = -11t + 32
H•C = tB•C + (1-t)C•C = 32t + 65(1-t) = -33t + 65

Como AH é perpendicular a BC temos:
(B-C)•(A-H) = 0
B•A - C•A - H•B + H•C = 0
13 - 29 - (-11t+32) + (-33t+65) = 0
-16 -22t  +33 = 0
t = 17/22

Portanto:
\(H =  \dfrac {17}{22}B + \dfrac{5}{22} C = \left( \dfrac{98}{22} , -\dfrac{7}{22} , \dfrac{ 59}{22} \right)  = \left( \dfrac{49}{11} , -\dfrac{7}{22} , \dfrac{ 59}{22} \right)   \)


Um truque que você pode usar nesse tipo de questão é o seguinte:

Podemos transladar todos os pontos, resolver o problema transladado, e depois a partir dele obter a solução do problema original. Por exemplo, considere os pontos
A' = (0,0,0)
B' = (2,-2,-1)
C' = (4,1,2)

Eles foram obtidos a partir de A,B,C, subtraindo (2,1,3) das coordenadas (ou seja, uma translação). Daí resolvemos o mesmo problema para A',B',C' obtendo o ponto H'. E depois pra obter H, basta somar H' com (2,1,3). (Tente justificar porque isso funciona).

Fazer isso simplifica um pouco os cálculos, pois ter A' = (0,0,0) ajuda

A'•A' = 0
A'•B' = 0
A'•C' = 0
B'•B' = 9
B'•C' = 4
C'•C' = 21

existe t tal que H' = tB' + (1-t)C'. Sendo assim, temos:
H'•B' = tB'•B' + (1-t)B'•C'= 9t + 4(1-t) = 5t + 4
H'•C' = tB'•C' + (1-t)C'•C' = 4t + 21(1-t) = -17t + 21
Logo:
(B'-C')•(A'-H') = 0
(B'-C')•(0'-H') = 0
(B'-C')•H' = 0
B'•H' - C'•H' =0
5t + 4  + 17t - 21 = 0
22t = 17
t = 17/22
(repare que deu o mesmo valor, não foi atoa)

Logo:
\(H = (2,1,3) + H' = (2,1,3) +  \dfrac {17}{22}B' + \dfrac{5}{22} C'  = \left( \dfrac{49}{11} , -\dfrac{7}{22} , \dfrac{ 59}{22} \right)   \)


Você pode ter percebido que na verdade ajudaria mais ter B' = 0, pois nesse caso teríamos H' como a projeção de A' sobre a direção de C'. Isto é,
H' = (A'•C') C' / (C'•C')
Tente assim depois!!