MATRIZ

Se a matriz A satisfaz A^ 2 + 2 A− I = , então A^−1 

\[
\begin{aligned}
A^2 + 2A - I & = O \\
A^2 & = I - 2A \\
A^{-1} \cdot A \cdot A & = A^{-1} \cdot (I - 2A) \\
I \cdot A & = A^{-1} - 2 A^{-1} A \\
A & = A^{-1} - 2I \\
\therefore \ A^{-1} & = A + 2I
\end{aligned}
\]

Não entendi da terceira linha para baixo.
Poderia me explicar?

Esse caso seria matriz inversa ou não?

Claro! Vou tentar explicar melhor: 

Na terceira linha, eu multipliquei a equação matricial pela matriz \(A^{-1}\) pela esquerda e desmembrei aquele \(A^2\) em \(A \cdot A\). 

Sabemos que \(A^{-1} \cdot A = I \), ou seja, a inversa de \(A\) multiplicada pela \(A\) resulta na matriz identidade \(I\). 

Na quarta linha, do lado esquerdo, eu multipliquei \(I \) por \(A\), e isso resulta na própria \(A\). 
Do lado direito, fiz a distributiva do \(A^{-1}\) pela expressão de dentro do par de parêntesis termo a termo. 

Na quinta linha obtemos uma relação de \(A^{-1}\) com os demais elementos da equação, e na sexta linha eu só isolei o \(A^{-1}\).