[Nv: Médio] Funções compostas - Iezzi 1985 Livro I

por LinkGyn12 Dom 31 Mar 2024, 14:26

A.311 Sejam as funções reais f e g definidas por

f(x) = 4x - 3 se x ≥ 0 g(x) = x + 1 se x > 2

e

f(x) = x² - 3x + 2 se x < 0 g(x) = 1 - x² se ≤ 2

Obter as leis que definem (f o g) e (g o f)

[Nv: Médio] Funções compostas - Iezzi 1985 Livro I MSz8s0enPu3y

https://prnt.sc/MSz8s0enPu3y

_______________________________________________________________________

resposta:

(fog)(x) = 4x + 1 se x > 2

(fog)(x) = 1 - 4x² se -1 ≤ x ≤ 1

(fog)(x) = x⁴ + x² se x < -1 ou 1 < x ≤ 2

(gof)(x) = 4x - 2 se x > 5/4
(gof)(x) = -16x² + 24x - 8 se 0 ≤ x ≤ 5/4
(gof)(x) = x² - 3x + 4 se x < 0

por Graphiel404 Dom 31 Mar 2024, 19:49

Olá, Link! Como vai?
Vou logo dizendo que a resolução de funções-sentenças compostas são um pouco extensas... Se não gostar da minha resolução então recomendo esperar outra pessoa responder, porque essa é a única maneira que sei fazer Rolling Eyes

Resolução (Aperte se tiver coragem):

Enfim, a resolução ficou muito extensa e com total certeza deve ter outra forma MUITO mais rápida de se resolver, talvez esboçando funções ou algo do tipo... Talvez o mestre @Elcioschin tenha uma forma melhor de resolver, se tiver eu fico agradecido porque fica complicado de resolver assim...

Abraços!

por **Leonardo Mariano** Dom 31 Mar 2024, 20:15

Boa noite. Postei porque já tinha digitado, mas fiz observando o gráfico de g(x).
Veja que ao fazer, por exemplo, a composição f o g, você faz com que os valores da imagem de g sejam substituídas no domínio de f. Utilizando esta lógica, na questão ocorre o seguinte:
A função f(x) assume diferentes formas dependendo se o valor de x é positivo ou negativo, esse valor de x, ao fazer a função composta, será a imagem de g, logo, temos que fazer o gráfico de g e verificar em quais intervalos a sua imagem será positiva.
Coloquei o gráfico no final da mensagem, é possível perceber o seguinte:
[latex] g(x) < 0 \rightarrow (x < -1 ) \: \cup \: ( 1 < x \leq 2 )
g(x) \geq 0 \rightarrow (-1 \leq x \leq 1)\: \cup (x> 2) [/latex]
Seguindo esse raciocínio, para os valores em que g(x) < 0 devemos substituir a sua equação em f(x) < 0. Já para os valores em que g(x) >= 0 devemos substituir a sua equação em f(x) >= 0. Fazendo isso:
[latex] x< -1: \: (f\circ g )= (1 - x^2)^2 - 3(1-x^2)+2 =x^4+x^2
-1 \leq x \leq 1: \: (f\circ g)=4(1-x^2) - 3=1-4x^2
1 < x \leq 2: \: (f\circ g)=(1-x^2)^2 - 3 (1-x^2)+2=x^4+x^2
x > 2: \: (f\circ g)=4(x+1)- 3 =4x+1 [/latex]
Portanto:
[latex] f\circ g = \left\{\begin{matrix} 4x+1 & x > 2\\ x^4+x^2 & 1 < x \leq 2 \: \cup \: x < -1 \\ 1- 4x^2 & -1 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right. [/latex]

por Graphiel404 Dom 31 Mar 2024, 20:27

Excelente, Leonardo!
Quando fiz o FME Vol. 1 achei estranho o livro quase não explicar a composição de duas funções sentenças...

por **Leonardo Mariano** Dom 31 Mar 2024, 20:40

Pois é, o mais perto que ele chega são alguns exercícios resolvidos de composição com uma função que tem sentença e outra que não tem, é bem pouco abordado, mas também quase nunca vejo exercícios cobrando composições mais complexas assim, acho que ele não quis forçar tanto a barra [Nv: Médio] Funções compostas - Iezzi 1985 Livro I 1f605

[Nv: Médio] Funções compostas - Iezzi 1985 Livro I 1f605

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por LinkGyn12 Seg 01 Abr 2024, 02:44

Graphiel404 escreveu:Olá, Link! Como vai?
Vou logo dizendo que a resolução de funções-sentenças compostas são um pouco extensas... Se não gostar da minha resolução então recomendo esperar outra pessoa responder, porque essa é a única maneira que sei fazer

Resolução (Aperte se tiver coragem):

Enfim, a resolução ficou muito extensa e com total certeza deve ter outra forma MUITO mais rápida de se resolver, talvez esboçando funções ou algo do tipo... Talvez o mestre @Elcioschin tenha uma forma melhor de resolver, se tiver eu fico agradecido porque fica complicado de resolver assim...

Abraços!

Olá, meu parceiro Graphiel. Muito obrigado por dispor seu tempo e me ajudar, mas meu conhecimento atual ainda não permite tamanha compreensão do assunto, parece que houve até o uso de derivada, eu não entendi muito bem, há muita coisa acontecendo. Mas é uma saída interessante, caso eu soubesse usar.
O raciocínio que tive: https://prnt.sc/bC3MTMOtdAZy
Espero não ter poluído muito a imagem.
~~Perceba que ficou bem parecido com a resposta original, exceto pelo fator "(fog)(x) = 1 - 4x² se -1 ≤ x² ≤ 1", no qual a forma correta é: (fog)(x) = 1 - 4x² se -1 ≤ x ≤ 1~~
edit: acho que entendi o porque apenas esta etapa da (fog)(x) ficou errada, eu devia desconsiderar o -1 ≤ x² e considerar apenas o x² ≥ 1, obtendo finalmente -1 ≤ x ≤ 1.
Que vacilo! Foi um pequeno detalhe que deixei passar do enunciado dizendo "sejam as funções reais". Enfim, de toda forma, continuo tendo problemas com a (gof)(x)

a (gof)(x) eu fiz assim: https://prnt.sc/RlebKeE9Md5n mas ficou incompleta. Desisti após esbarrar com este trinomio ao quadrado.
Essa é a maneira que o prof. G. Iezzi ensina no livro: https://prnt.sc/BSN-6tYB5QvP

Achei bem tranquilo e mecânico, mas essa penúltima estou preso, não consigo sair utilizando o mesmo raciocínio, porém vou tentar novamente com este insight que você utilizou de fazer intersecções. Talvez dê bom.

por LinkGyn12 Seg 01 Abr 2024, 03:08

Leonardo Mariano escreveu:Pois é, o mais perto que ele chega são alguns exercícios resolvidos de composição com uma função que tem sentença e outra que não tem, é bem pouco abordado, mas também quase nunca vejo exercícios cobrando composições mais complexas assim, acho que ele não quis forçar tanto a barra .

Olá, meu camarada Leonardo. Agradeço a ajuda e disposição. Sua solução ficou bem clean pela questão de plotar o gráfico, mas como solucionar isto sem o geogebra?
Faz os gráficos na mão mesmo?
Eu, particularmente, segui o seguinte raciocínio abordado pelo livro: https://prnt.sc/BSN-6tYB5QvP
Até certo ponto funcionou, mas agora estou tendo dificuldades.
O pior de tudo é que é a penúltima questão para o próximo capítulo e eu estou completamente preso kk, complicado.

por **Leonardo Mariano** Seg 01 Abr 2024, 10:18

Bom dia LinkGyn.
Neste caso dá tranquilo para plotar o gráfico:
Para x <= 2 temos uma parábola com concavidade para baixo e raízes -1 e 1;
Para x > 2 temos uma reta com coeficiente angular 1 e que cruza o eixo y em 1, fazendo a reta é só apagar a parte para x <= 2 e deixar apenas o resto.

por Graphiel404 Seg 01 Abr 2024, 16:25

LinkGyn12 escreveu:Olá, meu parceiro Graphiel. Muito obrigado por dispor seu tempo e me ajudar, mas meu conhecimento atual ainda não permite tamanha compreensão do assunto, parece que houve até o uso de derivada, eu não entendi muito bem, há muita coisa acontecendo.

Olá, Link! É verdade que há muita coisa acontecendo, é visualmente desgastante mesmo. Infelizmente era a única maneira que eu sabia resolver, antes claro da resposta do colega Leonardo (Aliás, muito obrigado, Leonardo!).

Obs.: Não utilizei derivadas, esses risquinhos em cima das funções são apenas para distinguir as funções, como se eu separasse a função f(x) em várias "funçõezinhas", mas de fato utilizei muita notação de proposição, conjuntos, intervalos, etc. Peço perdão por isso rs

por LinkGyn12 Seg 01 Abr 2024, 17:20

Graphiel404 escreveu:
LinkGyn12 escreveu:Olá, meu parceiro Graphiel. Muito obrigado por dispor seu tempo e me ajudar, mas meu conhecimento atual ainda não permite tamanha compreensão do assunto, parece que houve até o uso de derivada, eu não entendi muito bem, há muita coisa acontecendo.
Olá, Link! É verdade que há muita coisa acontecendo, é visualmente desgastante mesmo. Infelizmente era a única maneira que eu sabia resolver, antes claro da resposta do colega Leonardo (Aliás, muito obrigado, Leonardo!).

Obs.: Não utilizei derivadas, esses risquinhos em cima das funções são apenas para distinguir as funções, como se eu separasse a função f(x) em várias "funçõezinhas", mas de fato utilizei muita notação de proposição, conjuntos, intervalos, etc. Peço perdão por isso rs

Perfeito, agora eu compreendi melhor. Vou aplicar o mesmo na (gof)(x). O Leonardo fez a boa mesmo, a solução é bem simples.
Mas por conta da metodologia do livro, utilizarei a sua visão. Obrigado de verdade, Graphiel404 e Leonardo. Vocês salvaram o domingo, daqui a pouco estará solucionado.
Eu sou novo no fórum, ainda não sei dos macetes kk, perdão.